📘
Base Theory
૧. થિયરી અને મૂળભૂત ખ્યાલો
ટકાવારીના દાખલા ગણવા માટે તેના મૂળભૂત ખ્યાલો સમજવા જરૂરી છે.
1
ટકાવારીનો અર્થ: ટકાવારી એટલે 'દર 100 પર' (Per Centum).
2
અપૂર્ણાંકને ટકામાં ફેરવવા: અપૂર્ણાંકને ટકામાં ફેરવવા માટે 100 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. દા.ત., 34 = 34 × 100% = 75%.
3
ટકાને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવવા: ટકાને અપૂર્ણાંકમાં દર્શાવવા માટે 100 વડે ભાગાકાર કરવામાં આવે છે. દા.ત., 75% = 75100 = 34.
🧠
Base Theory
૨. મહત્વપૂર્ણ અપૂર્ણાંક મૂલ્યો
ગણતરી ઝડપી બનાવવા માટે આ અપૂર્ણાંક મૂલ્યો મોઢે કરી લેવા:
| અપૂર્ણાંક | ટકાવારી (%) |
|---|---|
12 | 50% |
13 | 33.33% |
14 | 25% |
15 | 20% |
16 | 16.66% |
18 | 12.5% |
110 | 10% |
📝
Rules
૩. નિયમો અને ઉદાહરણો
ટકાવારી શોધવાની પદ્ધતિઓ:
01
આપેલ સંખ્યાના ચોક્કસ ટકા શોધવા:
કોઈપણ સંખ્યાના ટકા શોધવા માટે, તે સંખ્યાનો ટકા સાથે ગુણાકાર કરી 100 વડે ભાગાકાર કરવામાં આવે છે.
🎯
ઉદાહરણ 1: 65 ના 220% શું થાય?
65 × (220100) = 143
🎯
ઉદાહરણ 2: 450 ના 78% શું થાય?
450 × (78100) = 351
જવાબ 1: 143, જવાબ 2: 351
02
એક સંખ્યા બીજી સંખ્યાના કેટલા ટકા છે તે શોધવું:
જે સંખ્યાના ટકા શોધવાના હોય તેને અંશમાં રાખો અને જેની સાપેક્ષમાં શોધવાના હોય ('ના' અથવા 'થી' વાળી સંખ્યા) તેને છેદમાં રાખી 100 વડે ગુણો.
🎯
ઉદાહરણ 1: 40 એ 160 ના કેટલા ટકા થાય?
(40160) × 100 = 25%
🎯
ઉદાહરણ 2: 54 એ 72 ના કેટલા ટકા થાય?
(5472) × 100 = 75%
જવાબ 1: 25%, જવાબ 2: 75%
03
ક્રમિક વધારો કે ઘટાડો (Successive Change):
જ્યારે કોઈ કિંમતમાં સતત બે વાર ફેરફાર થાય, ત્યારે અપૂર્ણાંક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો સરળ રહે છે.
🎯
ઉદાહરણ 1: A માં 20% નો વધારો કરી, પછી તેમાં 30% નો ઘટાડો કરવામાં આવે છે, તો A નું અંતિમ મૂલ્ય, A ના પ્રારંભિક મૂલ્યના કેટલા ટકા છે?
20% વધારો એટલે +15 (5 થી 6 થાય), 30% ઘટાડો એટલે -310 (10 થી 7 થાય).
પ્રારંભિક ગુણાકાર: 5 × 10 = 50. અંતિમ ગુણાકાર: 6 × 7 = 42.
42 એ 50 ના (4250 × 100) = 84% છે.
🎯
ઉદાહરણ 2: એક વર્તુળની ત્રિજ્યામાં 35% નો વધારો કરવામાં આવે, તો તેના ક્ષેત્રફળમાં કેટલા ટકા વધારો થશે?
35% = 720. ક્ષેત્રફળ માટે બે વાર વધારો (20 થી 27, 20 થી 27).
મૂળ 400 થી નવું 729 થાય. વધારો 329 નો. (329400) × 100 = 82.25%.
અંતિમો: 84% અને 82.25% વધારો
04
કિંમત અને વપરાશનો સંબંધ (Price and Consumption):
જો કિંમતમાં વધારો કે ઘટાડો થાય અને ખર્ચ સમાન રાખવો હોય, તો અપૂર્ણાંકના વ્યસ્તનો ઉપયોગ થાય છે.
🎯
ઉદાહરણ 1: જો કિંમતમાં 25% નો ઘટાડો કરવામાં આવે છે, તો વપરાશમાં કેટલા ટકાનો વધારો કરવો જોઇએ કે જેથી ખર્ચમાં કઈ ફેરફાર થાય નહીં?
25% ઘટાડો એટલે -14. ખર્ચ સમાન રાખવા વપરાશમાં +13 નો વધારો કરવો પડે. 13 × 100 = 33.33%.
🎯
ઉદાહરણ 2: જો ચોખાની કિંમતમાં 20% નો વધારો થાય છે, તો એક વ્યક્તિને ચોખાના વપરાશમાં કેટલા ટકા ઘટાડો કરવો જોઈએ કે જેથી તેનો ખર્ચ પહેલા જેટલો જ રહે?
20% વધારો એટલે +15. ખર્ચ સમાન રાખવા -16 નો ઘટાડો કરવો પડે. 16 × 100 = 16.66%.
જવાબ 1: 33.33%, જવાબ 2: 16.66%
💡
Confusion Points
૪. મૂંઝવતા મુદ્દાઓ
ટકાવારીના પ્રશ્નોમાં આ ભૂલો વારંવાર થાય છે:
1
એકમ સમાન હોવા જરૂરી છે: ટકાવારી શોધતી વખતે બંને રાશિઓના એકમ સમાન હોવા ફરજિયાત છે. દાખલા તરીકે, '16 ગ્રામ એ 4.8 કિ.ગ્રા. ના કેટલા ટકા છે?' તો સીધો ભાગાકાર કરી શકાય નહીં. 4.8 કિ.ગ્રા. ને પહેલા 4800 ગ્રામમાં ફેરવવું પડે, ત્યારબાદ જ ગણતરી (164800 × 100) થઈ શકે.
2
છેદમાં કઈ સંખ્યા મુકવી? (સાપેક્ષ ગણતરી): પ્રશ્નમાં 'ના કેટલા ટકા' અથવા 'થી કેટલા ટકા' એવા શબ્દો આવે, ત્યારે તે શબ્દની આગળની કિંમત હંમેશા છેદમાં (Denominator) મુકાય છે. દા.ત., '6% ના કેટલા ટકા 5% છે?' આ પ્રશ્નમાં 6% છેદમાં આવશે (56 × 100 = 83.33%). જો X, Y થી કેટલા ટકા વધારે છે એમ પૂછ્યું હોય, તો તફાવતના છેદમાં Y આવે છે.
3
તફાવત અને સમીકરણની સમજ: જ્યારે કોઈ મૂલ્ય બીજા કરતા 'ઓછું' કે 'વધારે' છે, ત્યારે સમીકરણ બનાવવામાં ખાસ ધ્યાન રાખવું. જેમ કે, 'x ના 25%, (x + 60) ના 30% થી 40 ઓછા છે', તેમાં મોટા મૂલ્યમાંથી નાનું મૂલ્ય બાદ કરી બરાબરમાં તફાવત દર્શાવવો પડે છે: (x+60)30% - x 25% = 40.
🎯
Examples
૫. પરીક્ષાલક્ષી વિવિધ પ્રકાર
અહીં અલગ-અલગ પ્રકારના (Types) દાખલા આપ્યા છે:
01
Type 1: મૂળભૂત ટકાવારીની ગણતરી
પ્રથમ દાખલો (Q.1): 525 ના 28% = ? (ઉકેલ: 147)
અંતિમ દાખલો (Q.24): 360 એ 1260 ના કેટલા ટકા છે?
ઉકેલ: 28(47)%
02
Type 2: સમીકરણ અને સરખામણી
પ્રથમ દાખલો (Q.25): જો 630 ના 17% = x ના 35% હોય તો x નું મૂલ્ય જણાવો. (ઉકેલ: 306)
અંતિમ દાખલો (Q.53): એક બેટ્સમેને 124 રન બનાવ્યા, જેમાં 6 ચોગા અને 10 છગ્ગા સામેલ હતા. તેના કુલ સ્કોરમાંથી કેટલા ટકા રન વિકેટની વચ્ચે દોડીને બનાવ્યા હોય?
ઉકેલ: 32(831)%
03
Type 3: ક્રમિક વધારો કે ઘટાડો (Successive Change)
પ્રથમ દાખલો (Q.54): A માં 20% નો વધારો કરી, પછી તેમાં 30% નો ઘટાડો કરવામાં આવે છે, તો A નું અંતિમ મૂલ્ય, A ના પ્રારંભિક મૂલ્યના કેટલા ટકા છે? (ઉકેલ: 84%)
અંતિમ દાખલો (Q.74): જો કોઇ અપૂર્ણાંકનાં અંશમાં 12% નો વધારો કરવામાં આવે છે અને તેના છેદમાં 8% નો ઘટાડો કરવામાં આવે છે તો નવો અપૂર્ણાંક 1617 થાય છે, તો મૂળ અપૂર્ણાંક કયો?
ઉકેલ: 92119
04
Type 4: રકમ અને ટકાવારીનો સંબંધ
પ્રથમ દાખલો (Q.75): કોઈ સંખ્યાના 20% ના 25%, 250 બરાબર છે, તે સંખ્યાના 35% કેટલા થશે? (ઉકેલ: 1750)
અંતિમ દાખલો (Q.83): એક સંખ્યાને 4 વડે ગુણવાને બદલે ભૂલથી 4 વડે ભાગવામાં આવે છે તો આ ભૂલને કારણે પરિણામમાં કેટલા ટકા તફાવત આવશે?
ઉકેલ: 93.75%
05
Type 5: કિંમત, વપરાશ અને ખર્ચ (પ્રકાર 1)
પ્રથમ દાખલો (Q.84): જો કોઇ એક લંબચોરસની લંબાઈમાં 14.28% નો વધારો કરવામાં આવે તો ક્ષેત્રફળને યથાવત રાખવા માટે તેની પહોળાઈમાં કેટલા ટકાનો ઘટાડો કરવો જોઇએ? (ઉકેલ: 12.5%)
અંતિમ દાખલો (Q.96): માણસોની ઉપલબ્ધિમાં ઘટાડો થવાને કારણે એક કંપનીમાં ઉત્પાદનમાં 35% નો ઘટાડો થાય છે. તો મૂળ ઉત્પાદન ફરી પાછું કરવા માટે કામના કલાકમાં કેટલા ટકા વધારો કરવો જોઇએ?
ઉકેલ: 53.85%
06
Type 6: કિંમતમાં ફેરફારથી જથ્થામાં થતો ફેરફાર
પ્રથમ દાખલો (Q.97): એક વસ્તુની કિંમતમાં 20% ઘટાડો થાય છે. જેનાથી ગ્રાહક 360 રૂપિયામાં 2 કિ.ગ્રા. વધારે વસ્તુ ખરીદી શકે છે. તો વસ્તુની પ્રારંભિક કિંમત (પ્રતિ કિ.ગ્રા.) શોધો. (ઉકેલ: 45 રૂા.)
અંતિમ દાખલો (Q.104): ઘઉંની કિંમતમાં 12.5% નો ઘટાડો થવાથી એક વ્યક્તિ 280 રૂા. માં અડધો કિગ્રા (0.5 kg) વધારે ઘઉં ખરીદી શકે છે, તો શરૂઆતમાં તે વ્યક્તિ કેટલા કિગ્રા ઘઉં ખરીદી શક્તો હતો?
ઉકેલ: 17.5 કિગ્રા
07
Type 7: ખર્ચ અને વપરાશમાં ટકાવારીનો ફેરફાર
પ્રથમ દાખલો (Q.105): જો ખાંડની કિંમતમાં 30% નો ઘટાડો થાય તો વપરાશમાં કેટલા ટકાનો વધારો કરવામાં આવે જેથી ખર્ચમાં 10% નો ઘટાડો થાય? (ઉકેલ: 28(47)%)
અંતિમ દાખલો (Q.113): ખાંડની કિંમતમાં રૂા. 2 પ્રતિ કિ.ગ્રા. ના ઘટાડાના કારણે એક વ્યક્તિ રૂા. 16 માં 4 કિ.ગ્રા. ખાંડ વધારે ખરીદે છે. ખાંડની શરૂઆતની કિંમત શોધો.
ઉકેલ: 4 રૂા.
08
Type 8: આવક, ખર્ચ અને બચત
પ્રથમ દાખલો (Q.114): એક વ્યક્તિ પોતાની આવકના 75% ખર્ચ કરે છે. જો તેની આવક અને ખર્ચમાં અનુક્રમે 20% અને 10% નો વધારો કરે છે તો તેની બચતમાં કેટલા ટકાનો તફાવત આવશે? (ઉકેલ: 50%)
અંતિમ દાખલો (Q.119): એક વ્યક્તિ તેની આવકનો નિશ્ચિત ભાગ બચાવે છે જેથી 16 મહિનામાં એક કાર ખરીદી શકે છે. પરંતુ જો તે કારને 14 મહિનામાં ખરીદવા માંગે તો તેણે બચતમાં કેટલા ટકાનો વધારો કરવો પડે?
ઉકેલ: 14(27)%
09
Type 9: શેષ આવકની વહેંચણી (Remaining Values)
પ્રથમ દાખલો (Q.120): અનુષ્કાની પાસે જેટલા રૂપિયા હતા, તેના 33.33% વિરાટને અને બાકીના રૂપિયાના 50% કપડા પર ખર્ચ કરે છે. અંતમાં તેની પાસે 1270 રૂા. વધે છે, તો પ્રારંભમાં તેમની પાસે કેટલા રૂપિયા હોય? (ઉકેલ: 3810 રૂા.)
અંતિમ દાખલો (Q.127): ધમેન્દ્ર પાસે જેટલા રૂપિયા હતા તેમાંથી તે 35% તેની પત્નીને અને 50% તેમના પુત્રોને આપે છે. બાકીના રૂા. 450 પોતાની પાસે રાખ્યા તો ધમેન્દ્રની પાસે કુલ કેટલા રૂપિયા હતા?
ઉકેલ: 3000 રૂા.
10
Type 10: ઈન્કમટેક્ષ (Income Tax)
પ્રથમ દાખલો (Q.128): જો ઈન્કમટેક્ષમાં 19% નો વધારો થાય તો ચોખ્ખી આવકમાં 1% નો ઘટાડો થાય છે, તો ઇન્કમટેક્ષનો દર જણાવો. (ઉકેલ: 5%)
અંતિમ દાખલો (Q.130): જો ઇન્કમટેક્ષમાં 19% નો વધારો થાય તો ચોખ્ખી આવકમાં 6% નો ઘટાડો થાય તો ઈન્કમટેક્ષનો દર શોધો.
ઉકેલ: 24%
11
Type 11: વેપાર અને નફા-ખોટ આધારિત ટકાવારી
પ્રથમ દાખલો (Q.131): રૂ. 4000 ના સામાનમાંથી અડધો સામાન 10% નફા સાથે વેચવામાં આવે છે તો બાકીનો અડધો સામાન કેટલા ટકા સાથે વેચાવામાં આવે તો એકંદરે 25% નફો થાય? (ઉકેલ: 40%)
અંતિમ દાખલો (Q.137): એક દુકાનદાર અમુક વસ્તુઓ ખરીદે છે અને આ વસ્તુઓમાંથી ચોથો ભાગ (14) 20% નફાથી વેચે છે, અને બાકી વધેલી વસ્તુને ખરીદ કિંમત પર વેચી દે છે. તો દુકાનદારને એકંદરે કેટલા ટકા નફો થાય?
ઉકેલ: 15%
12
Type 12: વસતી આધારિત પ્રશ્નો (Population)
પ્રથમ દાખલો (Q.138): ભગુડા ગામની વસતીમાં પહેલા વર્ષે 14(27)% વધારો થાય અને બીજા વર્ષના અંતમાં 25% નો વધારો થાય છે. જો બે વર્ષ પછી વસતી 4100 થઈ જાય તો હાલની વસતી શોધો. (ઉકેલ: 2870)
અંતિમ દાખલો (Q.148): એક વિસ્તારની વસતી 5% પ્રતિ વર્ષના દરથી વધી રહી છે. જો વર્તમાન વસતી 16,000 છે, તો બે વર્ષ પછી તે વિસ્તારની વસતી કેટલી હશે?
ઉકેલ: 17,640
13
Type 13: ચૂંટણી અને મતદાન આધારિત પ્રશ્નો (Elections)
પ્રથમ દાખલો (Q.149): એક ચૂંટણીમાં બે ઉમેદવાર ચૂંટણી લડી રહ્યા છે. મળેલા મતમાં 60% મત પ્રાપ્ત કરીને એક ઉમેદવાર 14,000 મતથી વિજેતા બને છે. તો વિજેતા ઉમેદવારે મેળવેલ મતની સંખ્યા જણાવો. (ઉકેલ: 42,000)
અંતિમ દાખલો (Q.159): એક ચૂંટણીમાં 10% લોકોએ મતદાન કર્યું નથી અને 2500 મત ખોટા સાબિત થયા. જીત મેળવનારને સાચા મતના 55% મત મળે છે અને તે 2000 મતોથી જીત મેળવે છે. તો કુલ મતોની સંખ્યા જણાવો.
ઉકેલ: 25,000
14
Type 14: પરીક્ષા અને ગુણ આધારિત પ્રશ્નો (Exams & Marks)
પ્રથમ દાખલો (Q.160): એક પરીક્ષામાં પાસ થવા માટે 40% ગુણ જરૂરી છે. આર્જવ 175 ગુણ મેળવે છે અને 25 ગુણથી નાપાસ થાય છે. તો પરીક્ષા કેટલા ગુણની હોય? (ઉકેલ: 500)
અંતિમ દાખલો (Q.175): એક ઉમેદવાર જે 50% ગુણ પ્રાપ્ત કરે છે, તે 100 ગુણોથી નાપાસ થાય છે. પરંતુ બીજો ઉમેદવાર જેણે 78% ગુણ પ્રાપ્ત કર્યા છે, તેને પાસના ગુણથી 30% વધારે ગુણ મળે છે. તો તે પરીક્ષામાં મહત્તમ ગુણ કેટલા હશે?
ઉકેલ: 1000