📐
Formula
૧. મહત્વના સૂત્રો
GP ના દાખલા ગણવા માટે આ 5 સૂત્રો જ્યાદાતર વપરાય છે:
1
કોઈપણ ક્રમનું પદ શોધવા (an)
an = a × rn - 1
દા.ત. 5મું પદ જોતું હોય તો a5 = a(r4)
2
ત્રણ પદોનો સંબંધ (શોર્ટકટ)
b2 = ac
(વચલી સંખ્યાનો વર્ગ = પહેલી મે છેલ્લી નો ગુણાકાર)
જો x, y, z ગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય તો y2 = xz થાય.
3
n પદોનો સરવાળો (જ્યારે r > 1)
a(rn - 1)
r - 1
જો r=2 હોય તો આ સૂત્ર વાપરવું.
4
n પદોનો સરવાળો (જ્યારે r < 1)
a(1 - rn)
1 - r
જો r = 12 હોય તો ઉપરનું પદ ધન રાખવા આ વપરાશે.
5
અનંત પદોનો સરવાળો (S_∞)
a
1 - r
Note: આ માત્ર ત્યારે જ વપરાય જ્યારે -1 < r < 1 હોય.
🧠
Base Theory
૨. પાયાના શબ્દો
ગુણોત્તર શ્રેણીમાં વપરાતા આ શબ્દો સ્પષ્ટ સમજી લો:
| શબ્દ | અર્થ | ઉદાહરણ (2, 6, 18 માટે) |
|---|---|---|
a | પ્રથમ પદ | અહી a = 2 છે |
r | સામાન્ય ગુણોત્તર | r = 62 = 3 |
an | n-મું પદ (તેની કિંમત) | a5 એટલે પાંચમું પદ |
Sn | પ્રથમ n પદોનો સરવાળો | પહેલા 5 પદનો સરવાળો |
S_∞ | અનંત સરવાળો | ...∞ સુધીની શ્રેણી માટે |
⚡ યાદ રાખો :
- ✓'r' અપૂર્ણાંક કે ઋણ પણ હોઈ શકે છે.
- ✓પ્રશ્નમાં a, r, n, an કે Sn માંથી શું માગ્યું છે તે ખાસ ઓળખી લેવું.
📘
Quick Notes
૩. ગુણોત્તર શ્રેણી એટલે શું?
ગુણોત્તર શ્રેણી (GP) માં દર વખતે અગાઉના પદનો કોઈ એક નિશ્ચિત સંખ્યા સાથે ગુણાકાર થાય છે. એટલે કે, તેમાં દર વખતે સંખ્યા ડબલ, અડધી કે ત્રણગણી થતી જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે: 2, 4, 8, 16... અહી દર વખતે 2 થી ગુણાકાર થાય છે.
💡ઉદાહરણ 1: 3, 9, 27, 81 ...
1
સામાન્ય ગુણોત્તર r શોધવા માટે બીજા પદનો પહેલા પદ વડે ભાગાકાર કરો.
2
r = 93 = 3
3
આગળનું પદ = 81 × 3 = 243
4
જવાબ: 243
💡ઉદાહરણ 2: 100, 50, 25 ...
1
અહીં સંખ્યાઓ અડધી થાય છે.
2
r = 50100 = 12
3
જવાબ: r = 12
⚡ ખાસ નોંધ :
- ✓સમાંતર શ્રેણી (AP) માં તફાવત સરખો હોય, જ્યારે ગુણોત્તર શ્રેણી (GP) માં ગુણોત્તર (ભાગાકાર) સરખો હોય છે.
- ✓હમેશા (a2a1) કરીને જ 'r' શોધવો.
🚀
Quick Notes
૪. ઝડપી જવાબો માટે શોર્ટકટ્સ
પરીક્ષામાં સમય ન બગડે તે માટે આ ટ્રીક્સ ધ્યાન રાખો:
1GP ઓળખવાની ટ્રીક
- દાખલામાં 'બમણી', 'ત્રણ ગણી', 'અડધી' જેવા શબ્દો હોય તો સમજી લેવું કે એ GP નો દાખલો છે.
- AP માં સરવાળોબાદબાકી થાય, GP માં ગુણાકાર થાય.
2ઘાતનો હિસાબ
- 2 અને 3 ની ઘાતો મોઢે રાખો: 25=32, 26=64, 34=81, 35=243.
- an શોધતી વખતે 'r' ની ઘાત હમેશા પદના નંબર કરતાં 1 ઓછી જ હોય (n-1).
3સરવાળાના શોર્ટકટ
- અનંત (Infinite) શ્રેણી હોય તો બીજું કશું જોવાનું નહિ, સીધું S_∞ = a(1 - r) લગાવો.
- r ની કિંમત 1 કરતા મોટી હોય તો અનંત સરવાળો શક્ય નથી.
📝
Examples
૫. સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉદાહરણો
ગુણોત્તર શ્રેણીના પરીક્ષાલક્ષી દાખલાઓની ગણતરી જુઓ:
01
3, 6, 12, 24 ... આ શ્રેણીનું 10મું પદ (a10) શોધો.
અહીં a = 3
r = 63 = 2 (શ્રેણી ડબલ થાય છે)
સૂત્ર: a10 = a × r9
a10 = 3 × (29) = 3 × 512 = 1536
જવાબ: 1536
02
2, 4, 8, 16 ... શ્રેણીમાં 256 કયા ક્રમનું પદ હશે?
અહીં a = 2, r = 2, an = 256
સૂત્ર: an = a × rn-1
256 = 2 × 2n-1
128 = 2n-1
128 એ 2 ની 7મી ઘાત છે, તેથી 27 = 2n-1
n - 1 = 7 એટલે n = 8
જવાબ: 8મું પદ
03
જો 18, x, 72 ગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો x શોધો.
GP માટે વચલા પદનો વર્ગ = આજુબાજુના પદોનો ગુણાકાર.
x2 = 18 × 72
x2 = 1296
વર્ગમૂળ કાઢતા: x = 36
જવાબ: x = 36
04
1000 + 500 + 250 + 125 + ... અનંત સુધી નો સરવાળો કેટલો?
શ્રેણી અનંત (∞) સુધી છે. a = 1000
અહીં r = 5001000 = 12 છે.
સૂત્ર: S_∞ = a(1 - r)
S_∞ = 1000(1 - 12) = 1000(12)
S_∞ = 1000 × 2 = 2000
જવાબ: 2000
💡
Base Theory
૬. છેલ્લી રિવિઝન માટેના મુદ્દા
ભૂલથી બચવા માટે આટલું ખાસ યાદ રાખજો:
1
પરીક્ષામાં પ્રશ્ન AP નો છે કે GP નો તેમાં ગોટાળો ન કરવો. તફાવત સમાન હોય તો AP ગણવી.
2
અનંત સરવાળાનો દાખલો પૂછાયો જ હશે, જેમાં તમારે માત્ર 'a' અને '1-r' ની જ જરૂર પડશે.
3
જો શ્રેણી ઘટી રહી હોય (જેમકે 120, 60, 30..) તો તેનો r હંમેશા અપૂર્ણાંકમાં (1 કરતા ઓછો) આવશે.