📐
Formula
૧. મહત્વના સૂત્રો
આ ચેપ્ટરના મોટાભાગના દાખલાઓ નીચેના મૂળભૂત નિયમો પરથી જ ઉકેલાય છે:
1
ગુણાકારનો નિયમ (સમાન આધાર)
am × an = am + n
દા.ત. 23 × 24 = 27 = 128
2
ભાગાકારનો નિયમ (સમાન આધાર)
am
an
દા.ત. 3732 = 35 = 243
3
ઘાત પર ઘાતનો નિયમ
(am)n = am × n
દા.ત. (52)3 = 56 = 15625
4
શૂન્ય ઘાતનો નિયમ
a0 = 1
દા.ત. 90 = 1
5
ઋણ ઘાત
1
an
દા.ત. 2-3 = 123 = 18
6
અપૂર્ણાંક ઘાત
am/n = n√(am)
દા.ત. 641/3 = ∛64 = 4
🧠
Base Theory
૨. પાયાની સમજ: આધાર અને ઘાતાંક
પ્રશ્ન ઉકેલતાં પહેલાં 'આધાર' કોણ છે અને 'ઘાત' કેટલી છે તે ઓળખવું ખૂબ જરૂરી છે.
| શબ્દકન્સેપ્ટ | અર્થ | ઉદાહરણ |
|---|---|---|
આધાર (Base) | જે સંખ્યાની ઘાત લેવામાં આવે | 53 માં '5' એ આધાર છે |
ઘાતાંક (Exponent) | આધાર કેટલી વાર ગુણાય છે તે | 53 માં '3' એ ઘાતાંક છે |
પાવર (Power) | અંતિમ પરિણામ | 25 = 32 |
અપૂર્ણાંક ઘાત | જે મૂળ (root) દર્શાવે છે | a1/2 = √a |
⚡ ખાસ ધ્યાન :
- ✓a1 = a
- ✓a0 = 1 (અહીં a શૂન્ય ન હોવો જોઈએ)
- ✓1 નો કોઈપણ ઘાત જવાબ હંમેશા 1 જ આપે છે.
📘
Quick Notes
૩. પ્રકરણ ની રૂપરેખા
ઘાત અને ઘાતાંક એટલે એક જ સંખ્યાનો વારંવાર થતો ગુણાકાર ટૂંકમાં લખવાની રીત. આ ચેપ્ટરમાં શૂન્ય અને ઋણ ઘાત સમજવી, કરણીને ઘાતરૂપમાં ફેરવવી અને અનંત કરણીવાળા દાખલા ગણતા શીખીશું. નિયમો સ્પષ્ટ યાદ હશે તો દાખલા ખૂબ જ ઝડપથી ગણાશે.
💡ઉદાહરણ 1: √(72 + √(72 + √(72 + ...∞)))
1
ધારો કે x = √(72 + x)
2
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: x2 = 72 + x
3
x2 - x - 72 = 0
4
સમીકરણ ઉકેલતા: (x - 9)(x + 8) = 0
5
જવાબ: x = 9(કારણ કે મૂલ્ય ધન હોવું જોઈએ)
💡ઉદાહરણ 2: √(24 - √(24 - √(24 - ...∞)))
1
ધારો કે x = √(24 - x)
2
x2 = 24 - x
3
x2 + x - 24 = 0
4
ઉકેલ: (x + 6)(x - 4) = 0
5
જવાબ: x = 4(પૂર્ણાંક ઉકેલ અને ધન મૂલ્ય)
💡ઉદાહરણ 3: √(18 + 3√(18 + 3√(18 + ...∞)))
1
ધારો કે x = √(18 + 3x)
2
x2 = 18 + 3x
3
x2 - 3x - 18 = 0
4
ઉકેલ: (x - 6)(x + 3) = 0
5
જવાબ: x = 6
💡ઉદાહરણ 4: 1(√3 + √2) + 1(√4 + √3) + 1(√5 + √4)
1
દરેક પદનું સંમેયીકરણ (Rationalize) કરો: 1(√n + √(n-1)) = √n - √(n-1)
2
તેથી સરવાળો બને: (√3 - √2) + (2 - √3) + (√5 - 2)
3
વચ્ચેના પદો ઊડી જશે.
4
જવાબ: √5 - √2
⚡ ઝડપી નોંધ :
- ✓આધાર સરખો હોય ત્યારે જ ઘાતોનો સીધો સરવાળો-બાદબાકી થાય.
- ✓ઋણ ઘાત દેખાય એટલે સંખ્યાને તરત જ ઉલટાવી (અંશ ને છેદમાં) દેવી.
🚀
Rules
૪. શોર્ટકટ્સ અને નિયમો
પ્રશ્નની ડિઝાઇન જોઈને જ કયો નિયમ વાપરવો તેનો આઈડિયા આવી જવો જોઈએ.
1સમાન આધારવાળા પ્રશ્નો
- ગુણાકાર હોય તો ઘાતાંકનો સરવાળો થાય.
- ભાગાકાર હોય તો ઘાતાંકની બાદબાકી થાય.
- કોઈપણ નો શૂન્ય (0) ઘાત હોય તો જવાબ હંમેશા 1 આવે.
2કરણી અને તુલના
- અલગ અલગ મૂળવાળી સંખ્યાઓને સરખાવવા માટે તેમની ઘાતોનો લસાઅ (LCM) લો.
- જો સરવાળો સમાન હોય (દા.ત. √11+√5 અને √14+√2), તો જેનો ગુણાકાર મોટો તે સંખ્યા મોટી.
3વિશેષ ટ્રિક્સ
- ઋણ ઘાત હોય ત્યારે અપૂર્ણાંકને ઉલટાવી દો: (49)-2 = (94)2
- અનંત કરણીના દાખલા x ધારીને ગણવાથી સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.
📝
Examples
૫. સ્ટેપ-બ-સ્ટેપ ઉદાહરણો
પરીક્ષામાં પૂછાઈ શકે તેવા દાખલાઓની ગણતરીની રીત:
01
(13)-2 ની કિંમત શોધો.
ઋણ ઘાત હોવાથી અપૂર્ણાંક ઉલટાવો: (31)2
32 = 9
જવાબ: 9
02
(49)-2 ની કિંમત શોધો.
ઋણ ઘાત હોવાથી અપૂર્ણાંકને ઉલટાવો: (94)2
હવે બંનેનો વર્ગ કરો: 92 = 81 અને 42 = 16
જવાબ: 8116
03
1(√2 + 1) + 1(√3 + √2) + ... + 1(√100 + √99) સમાન શું?
દરેક પદને rationalize કરો: 1(√n + √(n-1)) = √n - √(n-1)
એટલે કે સરવાળો: (√2 - 1) + (√3 - √2) + ... + (10 - √99)
વચ્ચેના તમામ પદો કેન્સલ થશે.
બાકી રહેશે: 10 - 1 = 9
જવાબ: 9
04
√11 + √5, √14 + √2, √8 + √8 માંથી કઈ સંખ્યા મોટી છે?
બધામાં વર્ગમૂળ અંદરનો સરવાળો ચકાસો: 11+5 = 16, 14+2 = 16, 8+8 = 16
હવે ગુણાકાર સરખાવો: 55, 28, 64
સરવાળો સમાન હોય ત્યારે '+' માં જેનો ગુણાકાર મોટો તે સંખ્યા મોટી.
અહીં 64 સૌથી મોટો છે.
જવાબ: √8 + √8 મોટી છે
05
23 × 25 = ?
આધાર સમાન છે, એટલે ઘાતાંકનો સરવાળો થશે.
23+5 = 28
28 = 256
જવાબ: 256
06
57 ÷ 54 = ?
આધાર સમાન હોવાથી ભાગાકારમાં ઘાતાંકની બાદબાકી થશે.
57-4 = 53
53 = 125
જવાબ: 125
07
(32)4 ની કિંમત જણાવો.
અહીં ઘાત પર ઘાત છે, એટલે ઘાતાંકનો ગુણાકાર થશે.
(32)4 = 32×4 = 38
38 = 6561
જવાબ: 6561
08
641/3 શોધો.
13 ઘાત એટલે સંખ્યાનું ઘનમૂળ (Cube root).
64 નું ઘનમૂળ શું થાય? 43 = 64
જવાબ: 4
09
272/3 શોધો.
પહેલા ઘનમૂળ કાઢો પછી વર્ગ કરો: (∛27)2
∛27 = 3, તેથી 32 = 9
અથવા: 27 = 33, એટલે (33)2/3 = 32 = 9
જવાબ: 9
10
√18 + √8 = ?
બંનેને સાદા મૂળમાં ફેરવો: √18 = 3√2 અને √8 = 2√2
હવે બંને સમાન વર્ગમૂળ હોવાથી સરવાળો થશે: 3√2 + 2√2 = 5√2
જવાબ: 5√2
11
1(√5 + √4) = ?
છેદનું સંમેયીકરણ (rationalization) કરો.
અંશ અને છેદમાં (√5 - 2) વડે ગુણાકાર કરતા:
છેદ: (√5 + 2)(√5 - 2) = 5 - 4 = 1
તેથી અંશ: √5 - 2 (કારણ કે √4 = 2)
જવાબ: √5 - 2
12
√7 - √3, √13 - √9, √19 - √15 માંથી મોટી સંખ્યા કઈ છે?
અહીં તમામમાં તફાવત 4 છે (7-3=4, 13-9=4, 19-15=4).
જ્યારે '-' હોય અને તફાવત સમાન હોય, ત્યારે જેનો ગુણાકાર નાનો તે સંખ્યા મોટી.
ગુણાકાર: 7×3=21, 13×9=117, 19×15=285.
સૌથી નાનો ગુણાકાર 21 છે.
જવાબ: √7 - √3 સૌથી મોટી
💡
Base Theory
૬. છેલ્લી રિવિઝન માટેના મુદ્દા
પરીક્ષા આપતા પહેલા આ બાબતો ખાસ મગજમાં રાખવી:
1
કોઈપણ સંખ્યાનો '0' ઘાત 1 થાય છે (a0 = 1).
2
અપૂર્ણાંકમાં ઋણ ઘાત આવે એટલે આંખ બંધ કરીને અંશ અને છેદ ઉલટાવી દો.
3
√a + √b વાળા પ્રશ્નોમાં સરવાળો સરખો હોય તો ગુણાકારની સરખામણી કરવી.
4
અનંત કરણીના દાખલામાં જો સીધો આન્સર ન મળે તો x ધારીને ગણતરી કરવી.