🧮
Quick Notes
પ્રકરણ ની રૂપરેખા
કોઈપણ સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષા માટે 'લ.સા.અ. અને ગુ.સા.અ.' એ પાયાનું અને ખૂબ જ સ્કોરિંગ ચેપ્ટર છે. ગુ.સા.અ. (HCF) એટલે એવી 'મોટામાં મોટી' સંખ્યા જે આપેલી બધી સંખ્યાઓને નિઃશેષ ભાગી શકે, જ્યારે લ.સા.અ. (LCM) એટલે એવી 'નાનામાં નાની' સંખ્યા જેને આપેલી બધી સંખ્યાઓ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
📖
Base Theory
૧. પાયાની સમજ: અવયવ અને અવયવી
ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. સમજવા માટે પહેલા 'અવયવ' (Factor) અને 'અવયવી' (Multiple) વચ્ચેનો ભેદ સમજવો પડે:
| શબ્દકન્સેપ્ટ | વ્યાખ્યા | ઉદાહરણ (૧૨ માટે) |
|---|---|---|
અવયવ (Factor) | આપેલી સંખ્યાને જે સંખ્યા વડે 'નિઃશેષ ભાગી શકાય' તેને અવયવ કહેવાય. | ૧૨ ના અવયવ: ૧, ૨, ૩, ૪, ૬, ૧૨ |
અવયવી (Multiple) | આપેલી સંખ્યાના 'ઘડિયામાં આવતી' તમામ સંખ્યાઓને અવયવી કહેવાય. | ૧૨ ના અવયવી: ૧૨, ૨૪, ૩૬, ૪૮... |
⚡ ખાસ નોંધ :
- ✓કોઈપણ સંખ્યાનો 'નાનામાં નાનો અવયવ' હંમેશા 1 હોય છે અને 'મોટામાં મોટો અવયવ' સંખ્યા પોતે જ હોય છે.
- ✓સંખ્યાના અવયવો મર્યાદિત (Limited) હોય છે, જ્યારે અવયવીઓ અનંત (Infinite) હોય છે.
⚖️
Comparison
૨. લ.સા.અ. અને ગુ.સા.અ. વચ્ચેનો મુળભુત તફાવત
બંને શબ્દો વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટ રીતે નીચે મુજબ સમજી શકાય:
ગુ.સા.અ.
- પૂરું નામગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ
- અર્થમોટામાં મોટો સામાન્ય (Common) ભાગ પાડનાર ગણ
- શરતજવાબ હંમેશા આપેલી સંખ્યાઓમાંથી સૌથી નાની સંખ્યા જેટલો અથવા તેનાથી નાનો હોય.
VS
લ.સા.અ.
- પૂરું નામલઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી
- અર્થનાનામાં નાનો સામાન્ય ઘડિયો (Multiple)
- શરતજવાબ હંમેશા આપેલી સંખ્યાઓમાંથી સૌથી મોટી સંખ્યા જેટલો અથવા તેનાથી મોટો હોય.
📐
Formula
૩. મહત્વના સૂત્રો
પરીક્ષામાં સીધા દાખલા ગણવા માટે આ સૂત્રો ખૂબ ઉપયોગી છે:
1
બે સંખ્યાઓનો સંબંધ (Master Rule)
લ.સા.અ. × ગુ.સા.અ. = પ્રથમ સંખ્યા × બીજી સંખ્યા
(LCM × HCF = A × B)
2
અપૂર્ણાંકનો લ.સા.અ.
અંશનો લ.સા.અ.
છેદનો ગુ.સા.અ.
3
અપૂર્ણાંકનો ગુ.સા.અ.
અંશનો ગુ.સા.અ.
છેદનો લ.સા.અ.
🚀
Rules
૪. શોર્ટકટ્સ અને જાદુઈ ટ્રીક્સ
ઝડપી ગણતરી કરવા માટે નીચેના નિયમો યાદ રાખો:
1સહ-અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ
- કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી હોતો દા.ત. (4, 9).
- તેમનો ગુ.સા.અ. હંમેશા '1' થાય.
- તેમનો લ.સા.અ. હંમેશા 'બંનેના ગુણાકાર' જેટલો થાય.
2સળંગ આવતી સંખ્યાઓ
- કોઈપણ બે ક્રમિક સંખ્યાઓ (જેમ કે 15, 16) નો ગુ.સા.અ. હંમેશા '1' થાય.
- તેમનો લ.સા.અ. હંમેશા તેમના ગુણાકાર જેટલો થાય.
3ઘાત વાળી સંખ્યાઓ
- જો આધાર સરખો હોય, તો નાની ઘાત એ 'ગુ.સા.અ.' છે.
- જો આધાર સરખો હોય, તો મોટી ઘાત એ 'લ.સા.અ.' છે.
- દા.ત. 23, 25 માં HCF=23 અને LCM=25
⚡ પક્ષી નજર :
- ✓જો એક સંખ્યા બીજી સંખ્યાનો અવયવ હોય (દા.ત. 5 અને 15), તો નાની સંખ્યા ગુ.સા.અ. (5) અને મોટી સંખ્યા લ.સા.અ. (15) બને છે.
🎯
Examples
૫. વ્યવહારિક દાખલા ઓળખવાની ટ્રીક
રકમમાં આપેલા સ્પષ્ટ શબ્દો પરથી નક્કી કરો કે લ.સા.અ. શોધવાનો છે કે ગુ.સા.અ.:
1
ગુ.સા.અ. શોધવા માટેના સંકેતો: મહત્તમ, વધુમાં વધુ, મોટામાં મોટી, લાંબામાં લાંબી, સમાન ભાગમાં વહેંચણી કરવી વગેરે.
2
લ.સા.અ. શોધવા માટેના સંકેતો: લઘુત્તમ, ઓછામાં ઓછું, નાનામાં નાની, ઘડિયાળના ટકોરા એકસાથે વાગવા, સિગ્નલની લાઈટો એકસાથે થવી, સર્ક્યુલર ગ્રાઉન્ડ પર દોડવી.
📝
Examples
૬. પરીક્ષાલક્ષી દાખલાઓ
વિવિધ પ્રકારના દાખલાને કેવી રીતે ઉકેલવા તે સમજીએ:
01
બે સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. 120 અને ગુ.સા.અ. 10 છે. જો તેમાંની એક સંખ્યા 30 હોય, તો બીજી સંખ્યા કઈ હશે?
સૂત્રનો ઉપયોગ: લ.સા.અ. × ગુ.સા.અ. = પહેલી સંખ્યા × બીજી સંખ્યા
120 × 10 = 30 × બીજી સંખ્યા
1200 = 30 × બીજી સંખ્યા
બીજી સંખ્યા = 1200 ÷ 30
જવાબ: 40
02
23, 49 અને 56 નો લ.સા.અ. શું થશે?
અપૂર્ણાંકના લ.સા.અ. નું સૂત્ર: (અંશનો લ.સા.અ.) ÷ (છેદનો ગુ.સા.અ.)
અંશ (2, 4, 5) નો લ.સા.અ. = 20
છેદ (3, 9, 6) નો ગુ.સા.અ. = 3 (બધામાં સામાન્ય 3 છે)
જવાબ: 203
03
ત્રણ ઘંટ અનુક્રમે 10, 15 અને 20 મિનિટના અંતરે વાગે છે. જો તે સવારે 8:00 વાગ્યે એકસાથે વાગ્યા હોય, તો ફરીથી એકસાથે ક્યારે વાગશે?
જ્યારે પણ ઍકસાથે વાગવાનીમળવાની વાત હોય ત્યારે હંમેશા લ.સા.અ. શોધાય.
10, 15 અને 20 નો લ.સા.અ. શોધો.
લ.સા.અ. = 60
એટલે કે બરાબર 60 મિનિટ (1 કલાક) પછી તે ફરી એકસાથે વાગશે.
સવારે 8:00 + 1 કલાક = સવારે 9:00
જવાબ: સવારે 9:00 વાગ્યે