📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
દ્વિઘાત સમીકરણના મૂળભૂત ખ્યાલો અને સૂત્રો:
1
શોધક: દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ આપનાર શ્રીધર આચાર્ય છે.
2
વ્યાપક સ્વરૂપ: દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ ax2+bx+c=0 છે, જ્યાં a ≠ 0.
3
ઉકેલ શોધવાનું સૂત્ર (શ્રીધર આચાર્યનું સૂત્ર): બીજ શોધવા માટેનું સૂત્ર x=(-b ± √(b2-4ac))(2a) છે.
4
વિવેચક (Discriminant - D): વિવેચકનું સૂત્ર D = b2-4ac છે. વિવેચકના આધારે સમીકરણમાં કેટલા બીજ મળશે તે નક્કી કરી શકાય છે.
💡
Formula
અન્ય અગત્યના સૂત્રો
બીજના સરવાળા, ગુણાકાર અને સમીકરણ બનાવવાના સૂત્રો:
1
બીજનો સરવાળો (α+β) = -ba
2
બીજનો ગુણાકાર (α × β) = ca
3
બીજ પરથી સમીકરણ બનાવવાનું સૂત્ર: x2-(α+β)x+(α × β)=0
📝
પ્રકાર 1
સમીકરણના બીજ (ઉકેલ) શોધવા (Finding Roots)
01
સમીકરણ x2-5x-6=0 ના બીજ શોધો.
અવયવ પાડો: x2-6x+x-6=0
સામાન્ય લેતાં: x(x-6)+1(x-6)=0
(x-6)(x+1)=0
ઉકેલ: x=6 અને x=-1
02
સમીકરણ x2-5x+6=0 ના બીજ શોધો.
અવયવ પાડો: x2-3x-2x+6=0
સામાન્ય લેતાં: x(x-3)-2(x-3)=0
(x-3)(x-2)=0
ઉકેલ: x=3 અને x=2
🔍
પ્રકાર 2
વિવેચક (D) અને બીજની પ્રકૃતિ શોધવી
01
સમીકરણ 4x2-5x-3=0 નો વિવેચક શોધો.
અહીં a=4, b=-5, c=-3
સૂત્ર: D = b2-4ac
ગણતરી: D = (-5)2-4(4)(-3)
= 25+48 = 73
જવાબ: D = 73
02
સમીકરણ 2x2-10x+4=0 ની પ્રકૃતિ દર્શાવો.
અહીં a=2, b=-10, c=4
ગણતરી: D = b2-4ac = (-10)2-4(2)(4)
= 100-32 = 68
પરિણામ: D > 0 હોવાથી વાસ્તવિક અને ભિન્ન ઉકેલ મળે.
💡
પ્રકાર 3
બીજ અથવા શૂન્યો પરથી સમીકરણ બનાવવું
01
જેનાં શૂન્યોનો સરવાળો 4 અને ગુણાકાર 4 હોય તેવી બહુપદી શોધો.
આપેલ માહિતી: α+β=4 અને α × β=4
સૂત્ર: x2-(α+β)x+(α × β)=0
સમીકરણ: x2-4x+4=0
02
જેનાં શૂન્યો 5 અને 3 હોય તેવી દ્વિઘાત બહુપદી શોધો.
અહીં બીજ α=5 અને β=3 છે.
સરવાળો (α+β) = 5+3=8
ગુણાકાર (α × β) = 5 × 3=15
સૂત્ર મુજબ સમીકરણ: x2-8x+15=0
❓
પ્રકાર 4
અજ્ઞાત કિંમત (K) શોધવી
01
જો સમીકરણ 6x2-Kx+2=0 નો વિવેચક 1 હોય, તો K શોધો.
અહીં a=6, b=-K, c=2 અને D=1 છે.
સૂત્ર: D = b2-4ac
ગણતરી: 1 = (-K)2-4(6)(2)
1 = K2-48
K2 = 49
જવાબ: K = ± 7
02
સમીકરણ 2x2-8x+K=0 નો વિવેચક 8 હોય તો K શોધો.
અહીં a=2, b=-8, c=K અને D=8 છે.
ગણતરી: 8 = (-8)2-4(2)(K)
8 = 64-8K
8K = 56
જવાબ: K = 7