📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
ક્રમચય અને સંચય ના મુખ્ય સૂત્રો:
1
ક્રમચય (Permutation): ક્રમચય એટલે ગોઠવણી. તેનું સૂત્ર nPr = n! / (n-r)! છે.
2
સંચય (Combination): સંચય એટલે પસંદગી. તેનું સૂત્ર nCr = n! / (r!(n-r)!) છે.
3
મહત્વના નિયમો: nC0 = 1 અને nP0 = 1
4
nCn = 1 અને nC1 = n
5
nCr = nCn-r
6
જો nCr1 = nCr2 હોય, તો n = r1 + r2 થાય.
7
ફેક્ટોરિયલ (Factorial - !): કોઈપણ સંખ્યાનો 1 સુધીનો ઉતરતા ક્રમમાં ગુણાકાર. ઉદાહરણ તરીકે: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
8
વર્તુળાકાર ગોઠવણી: વર્તુળમાં વ્યક્તિઓને બેસાડવા માટે (n-1)! રીતે ગોઠવણી કરી શકાય.
📏
Type 1
શબ્દોની ગોઠવણી (Word Permutations)
શબ્દોના મૂળાક્ષરોને અલગ અલગ રીતે ગોઠવવાની રીતો.
01
"ROMA" શબ્દનાં મૂળાક્ષરને અલગ-અલગ કેટલી રીતે લખી શકાય?
શબ્દમાં કુલ 4 મૂળાક્ષર છે અને તેમાં એક પણ મૂળાક્ષર પુનરાવર્તિત થતો નથી.
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 રીતે લખી શકાય.
જવાબ: 24
02
"DAUGHTER" શબ્દનાં મૂળાક્ષરને એવી કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી ત્રણેય સ્વર સાથે આવે?
ત્રણેય સ્વર (A, U, E) ને 1 એકમ ગણતાં અને બાકીના 5 વ્યંજન (D, G, H, T, R), કુલ 6 એકમ થાય.
વળી, 3 સ્વર અંદરોઅંદર 3! રીતે ગોઠવાઈ શકે.
કુલ ગોઠવણી = 6! × 3! = 720 × 6 = 4320.
જવાબ: 4320
📏
Type 2
સમૂહ કે ટીમની પસંદગી (Team Selection)
અલગ અલગ સમૂહમાંથી અમુક લોકોની પસંદગી.
01
8 વોલીબોલ ખેલાડીઓમાંથી 5 સભ્યવાળી ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?
પસંદગી કરવાની હોવાથી સંચય (Combination) નો ઉપયોગ થશે.
8C5 = 8! / (5! × 3!) = 56 રીતે પસંદ કરી શકાય.
જવાબ: 56
02
4 છોકરીઓ અને 5 છોકરાઓમાંથી 5 બાળકોની એક ટીમ બનાવવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછી 2 છોકરીઓ હોય, આ પસંદગી કેટલી રીતે થાય?
અહી અલગ અલગ શક્યતાઓ બને: (2 છોકરી + 3 છોકરા), (3 છોકરી + 2 છોકરા), અથવા (4 છોકરી + 1 છોકરો).
(4C2 × 5C3) + (4C3 × 5C2) + (4C4 × 5C1)
60 + 40 + 5 = 105 રીતે પસંદગી થાય.
જવાબ: 105
📏
Type 3
દડા પસંદ કરવાના દાખલા (Ball Selection)
પેટીમાંથી દડા પસંદ કરવાના દાખલા.
01
એક પેટીમાં 3 લાલ, 4 સફેદ અને 5 પીળાં દડા છે, તેમાંથી 3 દડા પસંદ કરતા ત્રણેય દડા લાલ રંગના હોય તેવી પસંદગી કેટલી રીતે થાય?
માત્ર 3 લાલ દડામાંથી જ 3 દડા પસંદ કરવાના છે.
3C3 = 1 રીતે.
જવાબ: 1
02
તે જ પેટીમાંથી 3 દડા પસંદ કરતા ત્રણેય દડા જુદાં-જુદાં રંગના હોય તેવી પસંદગી કેટલી રીતે થાય?
1 લાલ અને 1 સફેદ અને 1 પીળો દડો પસંદ કરવો પડે.
3C1 × 4C1 × 5C1 = 3 × 4 × 5 = 60 રીતે.
જવાબ: 60
📏
Type 4
અંકો પરથી સંખ્યા બનાવવી (Number Formation)
આપેલા અંકો પરથી ચોક્કસ અંકોની સંખ્યા બનાવવી.
01
1, 2, 3, 4, 5 (પુનરાવર્તન કર્યા સિવાય) અંકનો ઉપયોગ કરીને 5 અંકની કેટલી સંખ્યા બનાવી શકાય?
5 અંકોને 5 સ્થાનો પર ગોઠવવાના છે.
5P5 = 5! = 120 સંખ્યા બને.
જવાબ: 120
02
1, 2, 3, 4, 5 (પુનરાવર્તન કર્યા સિવાય) અંકનો ઉપયોગ કરીને 5 અંકની યુગ્મ (બેકી) સંખ્યા કેટલી બને?
યુગ્મ સંખ્યા માટે છેલ્લો અંક '2' અથવા '4' હોવો જોઈએ (2 શક્યતા) અને બાકીના 4 અંકો આગળના 4 સ્થાને ગોઠવાય.
4P4 × 2P1 = 24 × 2 = 48 સંખ્યા બને.
જવાબ: 48
📏
Type 5
સમીકરણો અને ગણતરી (Equations)
C અને P ના સમીકરણો આધારિત પ્રશ્નો.
01
જો nC18 = nC22 હોય, તો n = ?
સૂત્ર n = r1 + r2 નો ઉપયોગ કરવો.
n = 18 + 22 = 40.
જવાબ: 40
02
જો 12Pr = 1320 હોય, તો r = ?
12 × 11 × 10 = 1320 થાય છે.
અહી 3 અંકોનો ગુણાકાર થયો હોવાથી r = 3 કિંમત મળે.
જવાબ: 3
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
ક્રમચય અને સંચય પ્રકરણમાં થતી સામાન્ય ભૂલો:
1
ક્યારે 'C' લેવો અને ક્યારે 'P'?: જ્યારે માત્ર 'ગોઠવણી' (અક્ષરોની ગોઠવણી, બેઠક વ્યવસ્થા, અંકોથી સંખ્યા બનાવવી) કરવાની હોય, ત્યારે ક્રમચય (P) વપરાય છે. જ્યારે કોઈ સમૂહમાંથી અમુક લોકો કે વસ્તુઓની 'પસંદગી' (ટીમ બનાવવી, દડા પસંદ કરવા) કરવાની હોય, ત્યારે સંચય (C) વપરાય છે.
2
ગુણાકાર વિરુદ્ધ સરવાળો ('અને' vs 'અથવા'): જ્યારે શરતોની વચ્ચે 'અને' (તમામ ઘટનાઓ ફરજિયાત હોય) નો ભાવ હોય, ત્યારે પદો વચ્ચે 'ગુણાકાર' (×) થાય છે. જ્યારે શરતોની વચ્ચે 'અથવા' (વિકલ્પો હોય) નો ભાવ હોય, ત્યારે પદો વચ્ચે 'સરવાળો' (+) થાય છે.
3
પુનરાવર્તિત અક્ષરોનો નિયમ: શબ્દોની ગોઠવણી વખતે જે મૂળાક્ષર જેટલી વખત પુનરાવર્તિત થતો હોય, તેના ફેક્ટોરિયલ વડે કુલ ગોઠવણીને ભાગવી પડે છે. દા.ત., 'POTATO' માં T અને O બે-બે વાર આવે છે, તેથી તેને 2! × 2! વડે ભાગવામાં આવે છે.
4
'સાથે ન આવે' તેવી શરત: જ્યારે એમ પૂછવામાં આવે કે 'સ્વર સાથે ન આવે', ત્યારે સીધી ગણતરી કરવાને બદલે, પહેલા 'કુલ ગોઠવણી' શોધવી અને તેમાંથી 'સ્વર સાથે આવે' તેવી ગોઠવણી બાદ કરવી (સ્વર સાથે ન આવે = કુલ ગોઠવણી - સ્વર સાથે આવે).