📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
સંભાવના (Probability) ની પ્રાથમિક માહિતી:
1
ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી બ્લેઇઝ પાસ્કલ અને પિયર ડી ફર્મેટ દ્વારા સંભાવનાની ગાણિતીક સિદ્ધાંતની રચના થઇ હતી.
2
સંભાવના શોધવાનું મૂળ સૂત્ર: સંભાવના = શક્ય પરિણામકુલ પરિણામ
3
સંભાવના P(E) નું મૂલ્ય 0 કે તેના કરતાં વધારે પરંતુ 1 કે તેનાં કરતાં ઓછું હોય છે (0 ≤ P(E) ≤ 1).
4
ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના હંમેશા 1 થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે: સૂર્ય પશ્ચિમમાં આથમે છે, સોમવાર પછી મંગળવાર આવશે).
5
અશક્ય ઘટનાની સંભાવના હંમેશા 0 થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે: સૂર્ય પૂર્વમાં આથમે છે).
6
ઉદભવેલી ઘટના P(A) અને ન ઉદભવેલી ઘટના P(A') નો સરવાળો હંમેશા 1 થાય છે (P(A) + P(A') = 1).
📏
Type 1
મહિના અને વર્ષ આધારિત સંભાવના
સામાન્ય વર્ષમાં 365 દિવસ (52 અઠવાડિયા અને 1 દિવસ વધારાનો) અને લિપ વર્ષમાં 366 દિવસ (52 અઠવાડિયા અને 2 દિવસ વધારાના) હોય છે.
01
જાન્યુઆરી મહિનામાં 5 બુધવાર આવવાની સંભાવના કેટલી?
જાન્યુઆરી મહિનામાં કુલ 31 દિવસ હોય છે.
31 ને 7 વડે ભાગતા: 31 = 7 × 4 + 3
શેષ 3 વધે છે.
જવાબ: 37
02
લિપ વર્ષનાં ફેબ્રુઆરી મહિનામાં 5 શુક્રવાર આવવાની સંભાવના કેટલી?
લિપ વર્ષનાં ફેબ્રુઆરીમાં 29 દિવસ હોય છે.
29 ને 7 વડે ભાગતા: 29 = 7 × 4 + 1
શેષ 1 વધે છે.
જવાબ: 17
📏
Type 2
સિક્કાની સંભાવના
સિક્કા ઉછાળવાના દાખલામાં કુલ પરિણામની સંખ્યા 2n ના સૂત્રથી મળે છે, જ્યાં n એ સિક્કાની સંખ્યા છે.
01
એક સિક્કો ઊછાળતા છાપ મળે તેની સંભાવના કેટલી?
કુલ પરિણામ 21 = 2 હોય.
છાપ 1 વખત મળે.
જવાબ: 12
02
ત્રણ સિક્કા ઊછાળતા ત્રણ વખત છાપ મળે તેની સંભાવના કેટલી?
કુલ પરિણામ 23 = 8 હોય.
ત્રણેય છાપ 1 જ વખત મળે (HHH).
જવાબ: 18
📏
Type 3
પાસાની સંભાવના
એક પાસો ઉછાળતાં 61 = 6 પરિણામ, બે પાસા ઉછાળતાં 62 = 36 પરિણામ અને ત્રણ પાસા ઉછાળતાં 63 = 216 પરિણામ મળે છે.
01
એક પાસો ઉછાળવામાં આવે તો, એકી સંખ્યા મળે તેની સંભાવના કેટલી?
કુલ પરિણામ 6 છે.
પાસા પર (1, 3, 5) એમ 3 એકી સંખ્યાઓ હોય છે.
સંભાવના = 36
જવાબ: 12
02
બે પાસા ઉછાળવામાં આવે તો, સરવાળો 5 મળે તેની સંભાવના કેટલી?
કુલ પરિણામ 36 છે.
સરવાળો 5 મળે તેવા પરિણામ: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).
5 સરવાળો 4 રીતે મળી શકે છે.
સંભાવના = 436
જવાબ: 19
📏
Type 4
પત્તાની સંભાવના
કુલ 52 પત્તા હોય છે (26 લાલ રંગના અને 26 કાળા રંગના). 13 કાળીના, 13 ફુલ્લીના, 13 લાલના અને 13 ચોકડીના પત્તા હોય છે. ચિત્રવાળા કુલ 12 પત્તા હોય છે.
01
આ પાનુ એક્કાનું હોય તેની સંભાવના કેટલી?
કુલ પત્તા = 52.
કુલ 4 એક્કા હોય છે.
સંભાવના = 452
જવાબ: 113
02
આ પાનુ ચિત્રવાળું અને લાલ રંગનું હોય તેની સંભાવના કેટલી?
કુલ પત્તા = 52.
અહીં 'અને' એટલે કે છેદગણ લેવાનો છે.
લાલ રંગના ચિત્રવાળા 6 પત્તા હોય.
સંભાવના = 652
જવાબ: 326
📏
Type 5
દડાની સંભાવના (સંચય આધારિત)
દડાની પસંદગીના દાખલામાં સંચય (Combination - nCr) નો ઉપયોગ થાય છે.
01
એક બોકસમાં 6 કાળા અને 8 સફેદ દડા છે. એક દડો પસંદ કરવામાં આવે તે સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી?
કુલ દડા = 6 + 8 = 14.
સફેદ દડા 8 છે. 1 સફેદ દડાની પસંદગી = 8C1.
કુલ પસંદગી = 14C1.
સંભાવના = 8C114C1 = 814
જવાબ: 47
02
એક થેલામાં 8 લાલ અને 5 સફેદ રંગના દડા છે. તેમાંથી પસંદ થયેલ ત્રણેય દડા સફેદ રંગના હોય તેની સંભાવના કેટલી?
કુલ દડા = 8 + 5 = 13.
સફેદ દડા 5 છે. 3 સફેદ દડાની પસંદગી = 5C3 = 10.
કુલ પસંદગી = 13C3 = (13 × 12 × 11)(3 × 2 × 1) = 286.
સંભાવના = 10286
જવાબ: 5143
📏
Type 6
પરીક્ષાના ગુણની સંભાવના
પરીક્ષાના દાખલામાં કુલ પરિણામની ગણતરી ખાસ ધ્યાન રાખવી.
01
તમારા હાથમાં રહેલા પ્રશ્નપત્રમાં 75 માંથી 76 ગુણ આવવાની સંભાવના કેટલી?
75 માંથી 76 ગુણ મેળવવા અશક્ય છે.
આ અશક્ય ઘટના છે.
જવાબ: 0
02
100 ગુણના પેપરમાં 50 ગુણ મેળવવાની સંભાવના કેટલી?
100 ગુણની પરીક્ષામાં 0 થી 100 સુધીના ગુણ મળી શકે.
તેથી કુલ પરિણામ 101 થાય.
50 ગુણ આવવાની શક્યતા 1 જ છે.
જવાબ: 1101
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
સંભાવના પ્રકરણમાં થતી સામાન્ય ભૂલો:
1
'અને' વિરુદ્ધ 'અથવા': પત્તાના પ્રશ્નોમાં જ્યારે 'અને' પૂછાય ત્યારે બંને શરતોનું પાલન થતું હોય તેવા પત્તાનો 'છેદગણ' લેવો. જ્યારે 'અથવા' પૂછાય ત્યારે 'યોગગણ' લેવો.
2
પરીક્ષાના કુલ પરિણામની ગણતરી: જ્યારે 100 ગુણના પેપરની સંભાવના પૂછવામાં આવે, ત્યારે કુલ પરિણામ 100 નહિ પરંતુ 101 લેવામાં આવે છે, કારણ કે 0 માર્ક્સ પણ મળી શકે છે.
3
રંગ અને પ્રકારનો તફાવત: પત્તામાં 'કાળા રંગના' કુલ 26 પત્તા (કાળી + ફુલ્લી) હોય છે, પરંતુ જ્યારે માત્ર 'કાળી ના' પત્તા પૂછવામાં આવે ત્યારે તે 13 જ ગણવામાં આવે છે.
4
વર્ષના બાકી રહેલા દિવસો (શેષ): સામાન્ય વર્ષમાં 365 દિવસને 7 વડે ભાગતા 1 શેષ વધે છે, જ્યારે લિપ વર્ષમાં 366 દિવસને 7 વડે ભાગતા 2 શેષ વધે છે.