📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ અને સૂત્રો
ગોળો અને અર્ધગોળાના મુખ્ય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
1
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ (સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) = 4πr2
2
ગોળાનું ઘનફળ = (43)πr3
3
અર્ધગોળાની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 2πr2
4
અર્ધગોળાની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 3πr2
5
અર્ધગોળાનું ઘનફળ = (23)πr3
6
પોલો ગોળોવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ (RingHollow area) = π(R2 - r2)
⚠️
Confusion Points
ગૂંચવણના મુદ્દાઓ (Confusion Points)
નીચેના મુદ્દાઓમાં ભૂલ ના પડે તેનું ખાસ ધ્યાન રાખવું:
1
વ્યાસ vs ત્રિજ્યા: ઘણીવાર પરીક્ષામાં વ્યાસ (Diameter) આપ્યો હોય છે, ગણતરી કરતા પહેલા તેને 2 વડે ભાગીને ત્રિજ્યા (Radius) શોધવી ફરજિયાત છે.
2
અર્ધગોળાનું ક્ષેત્રફળ: અર્ધગોળામાં બે પ્રકારના ક્ષેત્રફળ હોય છે. જો માત્ર 'વક્રસપાટી' પૂછે તો 2πr2, પણ જો 'કુલ સપાટી' પૂછે તો ઉપરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉમેરીને 3πr2 થાય.
3
એકમ (Units): ક્ષેત્રફળ હંમેશા ચોરસ એકમ (સેમી2) માં અને ઘનફળ હંમેશા ઘન એકમ (સેમી3) માં હોય છે.
📝
Quick Notes
અન્ય અગત્યના મુદ્દાઓ
દાખલા ગણવા માટે યાદ રાખવાના મુદ્દા:
1
ગુણોત્તર: જો બે ગોળાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર a:b હોય, તો તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર a2:b2 અને ઘનફળનો ગુણોત્તર a3:b3 થાય.
2
નુકસાન (Wastage): જો સામગ્રી ઓગાળતી વખતે અમુક ટકા નષ્ટ થાય, તો કુલ ઘનફળમાંથી તેટલા ટકા બાદ કરી નવા આકારનું ઘનફળ શોધવું.
📏
Type 1
સીધું ક્ષેત્રફળ અથવા ઘનફળ શોધવું
આ પ્રકારમાં ત્રિજ્યા કે વ્યાસ આપેલ હોય અને સીધું સૂત્ર મૂકવાનું હોય છે.
01
14 સેમી વ્યાસના ગોળાનું પૃષ્ઠફળ શોધો.
વ્યાસ (d) = 14 સેમી, માટે ત્રિજ્યા (r) = 7 સેમી.
પૃષ્ઠફળ = 4πr2
= 4 × (227) × 7 × 7 = 616 ચો.સેમી.
જવાબ: 616 ચો.સેમી
02
21 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ગોળાનું ઘનફળ શોધો.
અહીં ત્રિજ્યા (r) = 21 સેમી.
ઘનફળ = (43)πr3
= (43) × (227) × 21 × 21 × 21 = 38,808 ઘન સેમી.
જવાબ: 38,808 ઘન સેમી
📏
Type 2
ઓગાળીને અન્ય આકાર બનાવવો
જ્યારે એક આકાર ઓગાળીને બીજો આકાર બનાવાય, ત્યારે બંનેનું ઘનફળ સમાન રહે છે.
01
48 સેમી વ્યાસના ગોળાને ઓગાળી 0.6 સેમી ત્રિજ્યાની કેટલી ગોળીઓ બને?
મોટા ગોળાનો વ્યાસ 48 સેમી એટલે ત્રિજ્યા R = 24 સેમી.
નાની ગોળીની ત્રિજ્યા r = 0.6 સેમી.
સંખ્યા (n) = મોટા ગોળાનું ઘનફળનાની ગોળીનું ઘનફળ
= ((43)πR3) / ((43)πr3) = R3r3
= (24 × 24 × 24)(0.6 × 0.6 × 0.6)
= 64,000
જવાબ: 64,000 ગોળીઓ
02
42 સેમી વ્યાસના ગોળાને ઓગાળી 14 સેમી વ્યાસ અને 36 સેમી ઊંચાઈના કેટલા શંકુ બને?
ગોળાની ત્રિજ્યા R = 422 = 21 સેમી.
શંકુની ત્રિજ્યા r = 142 = 7 સેમી, ઊંચાઈ h = 36 સેમી.
શંકુની સંખ્યા = ગોળાનું ઘનફળશંકુનું ઘનફળ
= ((43)πR3) / ((13)πr2h) = (4R3)(r2h)
= (4 × 21 × 21 × 21)(7 × 7 × 36)
= 21
જવાબ: 21 શંકુ
📏
Type 3
ટકાવારીમાં ફેરફાર
ત્રિજ્યામાં વધારો કે ઘટાડો થવાથી ઘનફળ કે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર.
01
ગોળાની ત્રિજ્યામાં 20% વધારો થાય તો ઘનફળમાં કેટલા ટકા વધારો થાય?
ઘનફળમાં ત્રિજ્યાનો ઘન (r3) હોય છે.
ધારો કે ત્રિજ્યા 10 છે, 20% વધારો એટલે નવી ત્રિજ્યા 12 થાય.
મૂળ ઘનફળ ∝ 103 = 1000
નવું ઘનફળ ∝ 123 = 1728
વધારો = 728, એટલે કે 72.8%
જવાબ: 72.8%