📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ અને સૂત્રો
શંકુ એ વર્તુળાકાર પાયો ધરાવતી ત્રિપરિમાણીય (3D) આકૃતિ છે. તેમાં ત્રણ મુખ્ય માપ હોય છે:
1
ત્રિજ્યા (r): પાયાના કેન્દ્રથી ધાર સુધીનું અંતર.
2
ઊંચાઈ (h): શંકુના ટોચથી પાયાના કેન્દ્ર સુધીની સીધી ઊંચાઈ.
3
તિર્યક ઊંચાઈ અથવા ત્રાંસી ઊંચાઈ (l): શંકુની ટોચથી પાયાની ધાર સુધીનું અંતર.
4
પાયાનું ક્ષેત્રફળ: πr2
5
વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ: πrl
6
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ: πrl + πr2 = πr(l + r)
7
શંકુનું ઘનફળ: (13)πr2h
8
ત્રાંસી ઊંચાઈ શોધવાનું સૂત્ર: l2 = h2 + r2
⚠️
Confusion Points
ગૂંચવણના મુદ્દાઓ (Confusion Points)
નીચેના મુદ્દાઓમાં ભૂલ ના પડે તેનું ખાસ ધ્યાન રાખવું:
1
સીધી ઊંચાઈ (h) વિ. ત્રાંસી ઊંચાઈ (l): ઘણા વિદ્યાર્થીઓ ઘનફળના સૂત્રમાં l અને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં h વાપરી નાખે છે. યાદ રાખો: ક્ષેત્રફળમાં ત્રાંસી ધાર (l) વપરાય અને ઘનફળ (હવાપાણીની ક્ષમતા) માં સીધી ઊંચાઈ (h) વપરાય.
2
વ્યાસ અને ત્રિજ્યા: રકમમાં ઘણીવાર 'વ્યાસ' આપ્યો હોય છે, તેને પહેલા 2 વડે ભાગીને ત્રિજ્યામાં ફેરવવું ફરજિયાત છે.
3
પાયાનું ક્ષેત્રફળ વિ. કુલ સપાટી: જો પ્રશ્ન 'તંબુ બનાવવા કેટલું કાપડ જોઈશે' હોય, તો માત્ર વક્રસપાટી લેવી કારણ કે જમીન પર કાપડ નથી હોતું. પણ જો 'બંધ શંકુ' હોય તો કુલ સપાટી લેવી.
4
એકમ (Units): જો ત્રિજ્યા સેમીમાં અને ઊંચાઈ મીટરમાં હોય, તો બંનેને એક સમાન એકમમાં ફેરવવા જરૂરી છે.
5
પાયથાગોરસની ત્રિપુટીઓ: આ ત્રિપુટીઓ યાદ રાખજો જે શંકુમાં (h, r, l માટે) બહુ કામ આવે છે: (3, 4, 5), (7, 24, 25), (5, 12, 13), (21, 28, 35)
📏
Type 1
ક્ષેત્રફળ શોધવા
શંકુની વક્રસપાટી કે કુલ સપાટી શોધવાના દાખલા.
01
એક શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા 10 સેમી અને તિર્યક ઊંચાઈ 7 સેમી છે, તો વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
અહીં r = 10 સેમી અને l = 7 સેમી આપેલ છે.
વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ = πrl
= (227) × 10 × 7 = 220 ચો.સેમી.
જવાબ: 220 ચો.સેમી
02
એક શંકુના પાયાનો વ્યાસ 28 સેમી અને તિર્યક ઊંચાઈ 10 સેમી હોય તો કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
વ્યાસ = 28 સેમી હોવાથી ત્રિજ્યા (r) = 282 = 14 સેમી.
અને તિર્યક ઊંચાઈ (l) = 10 સેમી.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = πr(l + r)
= (227) × 14 × (10 + 14)
= 44 × 24 = 1056 ચો.સેમી.
જવાબ: 1056 ચો.સેમી
📏
Type 2
ઘનફળ શોધવા
શંકુમાં કેટલી ક્ષમતા છે તે શોધવા ઘનફળના દાખલા.
01
7 સેમી ત્રિજ્યા અને 12 સેમી ઊંચાઈ ધરાવતા શંકુનું ઘનફળ શોધો.
અહીં r = 7 સેમી અને h = 12 સેમી આપેલ છે.
ઘનફળ = (13)πr2h
= (13) × (227) × 7 × 7 × 12
= 22 × 7 × 4 = 616 ઘન સેમી.
જવાબ: 616 ઘન સેમી
02
એક શંકુના પાયાનો પરિઘ 22 સેમી અને ઊંચાઈ 12 સેમી હોય તો ઘનફળ શોધો.
પરિઘ 2πr = 22
2 × (227) × r = 22 ⇒ r = 3.5 સેમી.
ઊંચાઈ (h) = 12 સેમી.
ઘનફળ = (13)πr2h
= (13) × (227) × 3.5 × 3.5 × 12
= (13) × (227) × (72) × (72) × 12 = 154 ઘન સેમી.
જવાબ: 154 ઘન સેમી
📏
Type 3
વસ્તુનું રૂપાંતર
એક આકારને પીગાળીને બીજો આકાર બનાવતી વખતે ઘનફળ સરખાવવામાં આવે છે.
01
3 સેમી ત્રિજ્યા અને 4 સેમી ઊંચાઈવાળા શંકુઓને ઓગાળીને 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળો ગોળો બનાવવો હોય તો શંકુની સંખ્યા શોધો.
ગોળાની ત્રિજ્યા (R) = 6 સેમી. ગોળાનું ઘનફળ = (43)πR3
શંકુની ત્રિજ્યા (r) = 3 સેમી, ઊંચાઈ (h) = 4 સેમી. શંકુનું ઘનફળ = (13)πr2h
શંકુની સંખ્યા = ગોળાનું ઘનફળશંકુનું ઘનફળ
= [(43)π × 63] / [(13)π × 32 × 4]
= (4 × 216)(9 × 4)
= 2169 = 24.
જવાબ: 24 શંકુ
02
6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા અર્ધગોળાને પીગાળીને 75 સેમી ઊંચાઈવાળો શંકુ બનાવવામાં આવે તો શંકુની ત્રિજ્યા શોધો.
અર્ધગોળાનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ
(23)πR3 = (13)πr2h
બંને બાજુથી (13)π દૂર કરતાં:
2 × R3 = r2 × h
અહીં અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા (R) = 6 અને શંકુની ઊંચાઈ (h) = 75 છે.
2 × 63 = r2 × 75
2 × 216 = r2 × 75
r2 = 43275 = 14425
તેથી r = 125 = 2.4 સેમી.
જવાબ: 2.4 સેમી
📏
Type 4
તંબુ અને વ્યક્તિઓની ક્ષમતા
જ્યારે અમુક વ્યક્તિઓ માટે તંબુ બનાવવાનો હોય ત્યારે પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને શ્વાસ માટેનું કુલ ઘનફળ ગણવામાં આવે છે.
01
5 વ્યક્તિઓ માટે તંબુ જોઈએ છે. દરેકને બેસવા 16 ચો.મી. જગ્યા અને શ્વાસ લેવા 100 ઘન મીટર હવા જોઈએ, તો ઊંચાઈ શોધો.
5 વ્યક્તિ માટે કુલ પાયાનું ક્ષેત્રફળ (πr2) = 5 × 16 = 80 ચો.મી.
5 વ્યક્તિ માટે કુલ હવા એટલે કે ઘનફળ = 5 × 100 = 500 ઘન મીટર.
ઘનફળનું સૂત્ર: (13) × (પાયાનું ક્ષેત્રફળ) × ઊંચાઈ
500 = (13) × 80 × h
1500 = 80 × h
h = 150080 = 754 = 18.75 મીટર.
જવાબ: 18.75 મીટર
📏
Type 5
શંકુનો આડછેદ (Frustum of a Cone)
શંકુને પાયાને સમાંતર કાપવામાં આવે ત્યારે બનતો આકાર (જેમ કે ગ્લાસ).
01
શંકુના આડછેદના વક્રસપાટી અને ઘનફળના સૂત્રો.
વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ: (12) × l × (C1 + C2) જ્યાં C એ છેડાનો પરિઘ છે.
ઘનફળ: (h3) × (A1 + A2 + √(A1A2)) જ્યાં A એ છેડાનું ક્ષેત્રફળ છે.
નોંધ: આ સૂત્રો ખાસ યાદ રાખવા.