📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ અને સૂત્રો
નળાકારના દાખલા ગણવા માટે નીચેના સૂત્રો મોઢે હોવા જરૂરી છે:
1
નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 2πrh
2
એક બાજુથી ખુલ્લા (તળિયાવાળા) નળાકારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = πr(2h + r)
3
બંધ નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 2πr(h + r)
4
નળાકારનું ઘનફળ = πr2h
5
ત્રિજ્યા અને વ્યાસ વચ્ચેનો સંબંધ: વ્યાસ (d) એ ત્રિજ્યા (r) કરતા બમણો હોય છે (d = 2r)
6
પાયાનું ક્ષેત્રફળ: નળાકારનો પાયો વર્તુળ હોય છે, તેથી પાયાનું ક્ષેત્રફળ = πr2
⚠️
Confusion Points
ગૂંચવણના મુદ્દાઓ (Confusion Points)
નીચેના મુદ્દાઓમાં ભૂલ ના પડે તેનું ખાસ ધ્યાન રાખવું:
1
વક્રસપાટી vs. કુલ સપાટી: જો માત્ર 'વક્રસપાટી' પૂછ્યું હોય તો 2πrh વાપરવું.
2
જો 'બંધ નળાકાર' કે 'કુલ સપાટી' પૂછ્યું હોય તો 2πr(h + r) વાપરવું.
3
જો 'તળિયાવાળો' (ઉપરથી ખુલ્લો) નળાકાર હોય તો πr(2h + r) વાપરવું.
4
એકમ પરિવર્તન (Unit Conversion): પરીક્ષામાં ઘણીવાર ત્રિજ્યા સેમીમાં અને ઊંચાઈ મીટરમાં આપી હોય છે. 1 મીટર = 100 સેમી યાદ રાખવું. ગણતરી કરતા પહેલા બંને એકમ સમાન કરવા.
5
નળાકાર બનાવવાની સંખ્યા: મોટા નળાકારમાંથી નાના નળાકાર બનાવવાના હોય ત્યારે: સંખ્યા (n) = મોટા નળાકારનું ઘનફળનાના નળાકારનું ઘનફળ.
6
ટકાવારીમાં ફેરફાર: જો ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે (r=1 થી r=2), તો ઘનફળમાં 300% નો વધારો થાય છે (કેમકે r2 હોવાથી તે 4 ગણું થાય).
📏
Type 1
વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવું
આ પ્રકારમાં સીધું સૂત્ર 2πrh વાપરીને ક્ષેત્રફળ શોધવાનું હોય છે.
01
એક નળાકારની ત્રિજ્યા 14 સેમી અને ઊંચાઈ 10 સેમી હોય તો વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
અહીં r = 14, h = 10
વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 2πrh
= 2 × (227) × 14 × 10
= 2 × 22 × 2 × 10 = 880 ચો.સેમી
જવાબ: 880 ચો.સેમી
02
જો નળાકારનો વ્યાસ 14 સેમી અને ઊંચાઈ 10 સેમી હોય તો વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ કેટલું?
અહીં વ્યાસ (d) = 14 છે, તેથી ત્રિજ્યા (r) = 7 સેમી થાય.
વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 2πrh
= 2 × (227) × 7 × 10
= 2 × 22 × 1 × 10 = 440 ચો.સેમી
જવાબ: 440 ચો.સેમી
📏
Type 2
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (Total Surface Area)
જ્યારે નળાકાર બંધ હોય અથવા તળિયું ધરાવતો હોય ત્યારે 2πr(h + r) અથવા πr(2h + r) સૂત્ર વપરાય છે.
01
એક બંધ નળાકારની ત્રિજ્યા 14 સેમી અને ઊંચાઈ 30 સેમી છે, તો કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
અહીં r = 14, h = 30
બંધ નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 2πr(h + r)
= 2 × (227) × 14 × (30 + 14)
= 2 × 22 × 2 × 44
= 88 × 44 = 3872 ચો.સેમી
જવાબ: 3872 ચો.સેમી
02
પાયાનો વ્યાસ 28 સેમી અને ઊંચાઈ 25 સેમી ધરાવતા તળિયાવાળા નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
વ્યાસ 28 સેમી છે તેથી ત્રિજ્યા (r) = 14 સેમી, h = 25
તળિયાવાળા નળાકારનું ક્ષેત્રફળ = πr(2h + r)
= (227) × 14 × (2 × 25 + 14)
= 22 × 2 × (50 + 14)
= 44 × 64 = 2816 ચો.સેમી
જવાબ: 2816 ચો.સેમી
📏
Type 3
ઘનફળ (Volume)
નળાકારમાં કેટલી વસ્તુ સમાશે તે શોધવા માટે ઘનફળ (πr2h) શોધાય છે.
01
એક નળાકારની ત્રિજ્યા 14 સેમી અને ઊંચાઈ 25 સેમી હોય તો ઘનફળ શોધો.
અહીં r = 14, h = 25
ઘનફળ = πr2h
= (227) × 14 × 14 × 25
= 22 × 2 × 14 × 25
= 44 × 350 = 15400 ઘન સેમી
જવાબ: 15400 ઘન સેમી
02
નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ 80 ચો.સેમી અને ઊંચાઈ 5 સેમી હોય તો ઘનફળ કેટલું?
પાયાનું ક્ષેત્રફળ (πr2) = 80 આપેલ છે, h = 5
ઘનફળ = (પાયાનું ક્ષેત્રફળ) × h
= 80 × 5
= 400 ઘન સેમી
જવાબ: 400 ઘન સેમી