📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
જો સમઘનની બાજુની લંબાઇ l હોય, તો નીચે મુજબના સૂત્રો બને છે:
1
સમઘનનું ઘનફળ (Volume): l × l × l = l3
2
સમઘનની એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ: l × l = l2
3
સમઘનની બાજુની પરિમિતિ: 4l
4
સમઘનની ચાર દિવાલનું ક્ષેત્રફળ: 4l2
5
ખુલ્લા સમઘનનું પૃષ્ઠફળ (ઉપરથી ખુલ્લો): 5l2
6
સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ (Total Surface Area): 6l2
7
સમઘનનો લાંબામાં લાંબો વિકર્ણ (સૌથી મોટો સળિયો): √3 × l
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
નીચેના મુદ્દાઓમાં ભૂલ ના પડે તેનું ખાસ ધ્યાન રાખવું:
1
ક્ષેત્રફળ vs પૃષ્ઠફળ: જો ઓરડાની 'ચાર દિવાલનું ક્ષેત્રફળ' પૂછે તો માત્ર 4l2 વાપરવું, પણ જો 'પૃષ્ઠફળ' પૂછે તો છત અને તળિયા સહિત બધી 6 બાજુઓ ગણીને 6l2 વાપરવું.
2
એકમમાં પરિવર્તન (Unit Conversion): ઘનફળમાં મોટામાંથી નાના એકમો મૂકતી વખતે ધ્યાન રાખવું. 1 મીટર = 100 સેમી થાય.
3
પ્રવાહીની ક્ષમતા (લીટરમાં): 1 ઘનમીટર (મીટર3) = 1000 લીટર થાય. જો જવાબ 1000 m3 આવે, તો કુલ લીટર શોધવા તેને વધુ 1000 વડે ગુણવા પડે (1000 × 1000 = 10,00,000 લીટર).
4
ટકાવારીનો ફેરફાર (Percentage Change): લંબાઈમાં વધારોઘટાડો થાય, ત્યારે ઘનફળ શોધવા માટે નવી લંબાઈનો ઘન (Cube) કરવો પડે છે. જેમ કે, 10% ઘટાડો થાય એટલે બાજુ 10 થી 9 થાય, તો તેનું ઘનફળ 1000 થી 729 થાય.
📏
Type 1
મૂળભૂત સૂત્રો પર આધારિત (ઘનફળ, પૃષ્ઠફળ અને ચાર દિવાલ)
આ પ્રકારમાં સીધી બાજુની લંબાઈ આપી હોય અને ઘનફળ કે ક્ષેત્રફળ શોધવાનું હોય છે.
01
એક સમઘન ઓરડાની દિવાલની લંબાઇ 10 મીટર છે તો આ સમઘનનું ઘનફળ શોધો.
l = 10 મીટર
ઘનફળ = l3 = (10)3
જવાબ: 1000 m3
02
એક સમઘન ઓરડાની દિવાલની લંબાઇ 10 મીટર છે તો આ ઓરડાની ચારેય દિવાલનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
ચાર દિવાલનું ક્ષેત્રફળ = 4l2
= 4(10)2 = 4 × 100
જવાબ: 400 m2
📏
Type 2
વિકર્ણ (સૌથી મોટો સળિયો) અને પરિમિતિ આધારિત
ઓરડામાં મૂકી શકાતો 'મોટામાં મોટો સળિયો' એટલે તે ઓરડાનો વિકર્ણ (Diagonal) કહેવાય.
01
એક સમઘન ઓરડાની દિવાલની લંબાઇ 10 મીટર છે તો આ સમઘન ઓરડામાં મોટામાં મોટા કેટલા મીટર લંબાઈનો સળિયો સમાઇ શકે?
વિકર્ણ = √3 × l
= √3 × 10
જવાબ: 10√3 મીટર
02
એક સમઘનનાં વિકર્ણની લંબાઈ 6√3 સેમી છે તો તેનું ઘનફળ કેટલું થાય?
વિકર્ણ = √3 × l
6√3 = √3 × l → l = 6
ઘનફળ = l3 = (6)3
જવાબ: 216 સેમી3
📏
Type 3
ટકાવારીમાં વધારો કે ઘટાડો (Percentage Change Tricks)
આ દાખલાઓમાં 100 ધારીને કે ગુણોત્તર (Ratio) ની રીતથી સીધો ઘન કરીને જવાબ લવાય છે.
01
એક સમઘનની લંબાઈમાં 10% નો ઘટાડો કરવામાં આવે તો તેના ઘનફળમાં કેટલા ટકાનો ઘટાડો થાય?
10% નો ઘટાડો એટલે લંબાઈ 10 થી 9 થાય (10 → 9).
ઘનફળ માટે ઘન (Cube) કરતાં: 103 → 93 = 1000 → 729
કુલ ઘટાડો = 1000 - 729 = 271
ટકાવારી ઘટાડો = (2711000) × 100%
જવાબ: 27.10%
02
એક સમઘનનાં લંબાઈમાં 10% નો વધારો કરવામાં આવે તો તેના ઘનફળમાં કેટલા ટકાનો વધારો થાય?
લંબાઈ 10 થી 11 થાય (10 → 11).
ઘનફળ માટે ઘન કરતાં: 103 → 113 = 1000 → 1331
કુલ વધારો = 1331 - 1000 = 331
ટકાવારી વધારો = (3311000) × 100%
જવાબ: 33.10%
📏
Type 4
પીગાળવાના અને સમાવવાના પ્રશ્નો (Melting & Fitting)
જ્યારે કોઈ આકાર પીગાળીને નવો આકાર બને ત્યારે બંનેનું ઘનફળ સમાન રહે છે.
01
ધાતુના બનેલા એક સમઘનની લંબાઇ 12 સેમી છે તેને પીગાળી ત્રણ નાના ઘન બનાવવામાં આવે છે જેમાંથી બે સમઘનની લંબાઇ 6 સેમી અને 8 સેમી છે તો ત્રીજા સમઘનની લંબાઇ શોધો.
મોટા સમઘનનું ઘનફળ = ત્રણ નાના સમઘનના ઘનફળનો સરવાળો.
(l)3 = (l1)3 + (l2)3 + (l3)3
(12)3 = (6)3 + (8)3 + (l3)3
1728 = 216 + 512 + (l3)3
1728 = 728 + (l3)3 → (l3)3 = 1000
l3 = 10 સેમી
જવાબ: 10 સેમી
02
1 મીટરની બાજુ ધરાવતા એક સમઘન ઓરડામાં 10 સેમી બાજુ ધરાવતા કેટલા બોક્સ સમાવી શકાય?
1 મીટર = 100 સેમી
બોક્સની સંખ્યા (n) = ઓરડાનું ઘનફળએક બોક્સનું ઘનફળ
n = (100 × 100 × 100)(10 × 10 × 10)
n = 1000 બોક્સ
જવાબ: 1000 બોક્સ
📏
Type 5
પ્રવાહીની ક્ષમતા લીટરમાં (Capacity in Liters)
1 ઘનમીટર (m3) = 1000 લીટર પાણી સમાય છે.
01
એક સમઘન ટાંકીની બાજુની લંબાઈ 10 મીટર છે તો તેમાં કેટલા લીટર પાણી સમાઇ શકે?
ટાંકીનું ઘનફળ = l3 = (10)3 = 1000 m3 (ઘનમીટર)
1 ઘનમીટર = 1000 લીટર
તેથી, કુલ પાણી = 1000 × 1000 = 10,00,000 લીટર
જવાબ: 10,00,000 લીટર