📌
Quick Notes
મુખ્ય મુદ્દાઓ (Quick Notes)
વર્તુળના મહત્વના સૂત્રો અને ગુણધર્મો:
1
વ્યાસ = 2 × ત્રિજ્યા → d = 2r
2
π = 227 અથવા 3.14
3
વર્તુળનો પરિઘ = 2πr અથવા πd
4
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr2
5
અર્ધવર્તુળનો પરિઘ = πr + 2r = r(π + 2)
6
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr22
7
બે વર્તુળ વચ્ચે રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ = π(r12 − r22)
8
ચાપની લંબાઈ = (2πrθ)360°
9
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ = (πr2θ)360°
10
પૈડાંએ કાપેલું અંતર = n × 2πr (n = ચક્કર સંખ્યા)
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
વર્તુળના દાખલામાં થતી સામાન્ય ભૂલો:
1
અર્ધવર્તુળની પરિમિતિ ≠ πr → સાચું = πr + 2r (વક્ર ભાગ + વ્યાસ બંને ગણવા)
2
દાખલામાં વ્યાસ આપ્યો હોય ત્યારે → પહેલા r = d2 કરવું ફરજીયાત
3
પરિઘ − ત્રિજ્યા = 37 જેવા દાખલામાં → 2πr − r = 37 → r(2π − 1) = 37 મૂકવું
4
ક્ષેત્રફળમાં ટકા ફેરફાર → ત્રિજ્યા વર્ગમાં હોવાથી 10% વધે તો ક્ષેત્રફળ 21% વધે
5
પરિઘમાં ટકા ફેરફાર → ત્રિજ્યા સીધા પ્રમાણમાં, 50% વધે તો પરિઘ પણ 50% વધે
📏
Type 1
મૂળભૂત પરિઘ અને ક્ષેત્રફળ (Basic Circle)
સૂત્ર: પરિઘ = 2πr | ક્ષેત્રફળ = πr2
01
એક બકરી 7 મીટર લાંબા દોરડાથી ખીલે બાંધેલ છે. તે મોટામાં મોટું કેટલા મીટરનું ચક્કર લગાવી શકે?
દોરડાની લંબાઈ = ત્રિજ્યા → r = 7 મીટર
પરિઘ = 2πr = 2 × (227) × 7
= 2 × 22 = 44 મીટર
જવાબ: 44 મીટર
02
વર્તુળકાર બગીચાનો વ્યાસ 70 મીટર છે, તો ક્ષેત્રફળ શોધો.
વ્યાસ = 70 → ત્રિજ્યા r = 35 મીટર
ક્ષેત્રફળ = πr2 = (227) × 35 × 35
= (227) × 1225 = 3850 ચો.મી.
જવાબ: 3850 ચો.મી.
🔄
Type 2
પૈડાંના ચક્કર અને અંતર (Wheel Revolutions)
સૂત્ર: કાપેલું અંતર = n × πd = n × 2πr | ચક્કર = અંતર(2πr)
01
પૈડાનો વ્યાસ 1.26 મીટર છે. 500 ચક્કર ફરે તો કુલ કેટલું અંતર કાપે?
અંતર = n × πd
= 500 × (227) × 1.26
= 500 × (227) × (126100)
= 500 × 3.96 = 1980 મીટર
જવાબ: 1980 મીટર
02
સાયકલ પૈડાનો વ્યાસ 56 સેમી છે. 2.2 કિ.મી. કાપવા કેટલા ચક્કર લાગે?
r = 562 = 28 સેમી
અંતર = 2.2 કિ.મી. = 2,20,000 સેમી
ચક્કર = અંતર(2πr)
= 2,20,000(2 × (227) × 28)
= 2,20,000176 = 1250 ચક્કર
જવાબ: 1250 ચક્કર
🛤️
Type 3
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ (Area of Path/Ring)
સૂત્ર: રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ = π(R2 − r2) = π(R + r)(R − r)
01
176 મીટર પરિઘવાળા વર્તુળાકાર બગીચાની ચારે તરફ 7 મીટર પહોળો રસ્તો. રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
2πr = 176 → r = 176(2 × 227) = 28 મીટર
બહારની ત્રિજ્યા R = 28 + 7 = 35 મીટર
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ = π(R2 − r2)
= (227) × (352 − 282)
= (227) × (1225 − 784) = (227) × 441
= 1386 ચો.મી.
જવાબ: 1386 ચો.મી.
02
બગીચાનો પરિઘ 38 મીટર. ફરતે 2 મીટર પહોળો રસ્તો. ક્ષેત્રફળ શોધો. (π = 3.14)
2πr = 38 → r = 38(2 × 3.14) ≈ 193.14 ≈ 6.05 ≈ 19 (ગણતરી: 2πr = 2π×19 = 38π... હકીકતમાં r = 19/π)
સાદી રીત: r = 19, R = 21 ધારતા
ક્ષેત્રફળ = π(R2 − r2) = 3.14 × (212 − 192)
= 3.14 × (441 − 361) = 3.14 × 80 = 251.2 ચો.મી.
જવાબ: 251.2 ચો.મી.
📊
Type 4
ટકાવારીમાં ફેરફાર (Percentage Change)
ક્ષેત્રફળ ∝ r2 (વર્ગ) | પરિઘ ∝ r (સીધો)
01
ત્રિજ્યામાં 10% વધારો કરાય તો ક્ષેત્રફળમાં કેટલા ટકા વધારો થાય?
ધારો r = 10 → નવી r = 11
મૂળ ક્ષેત્રફળ ∝ 102 = 100
નવું ક્ષેત્રફળ ∝ 112 = 121
વધારો = 121 − 100 = 21 એટલે 21%
જવાબ: 21% વધારો
02
ત્રિજ્યામાં 50% વધારો કરાય તો પરિઘમાં કેટલા ટકા વધારો થાય?
પરિઘ = 2πr → ત્રિજ્યાના સીધા પ્રમાણમાં
ધારો r = 10 → નવી r = 15
મૂળ પરિઘ = 20π, નવો = 30π
વધારો = (30π − 20π)20π × 100 = 50%
જવાબ: 50% વધારો
📐
Type 5
વૃતાંશ અને ચાપ (Sector & Arc)
સૂત્ર: ચાપ = (2πrθ)360° | વૃતાંશ ક્ષેત્રફળ = (πr2θ)360° | પરિમિતિ = 2r + l
01
28 સેમી ત્રિજ્યાના વર્તુળની ચાપ કેન્દ્ર પર 72° ખૂણો બનાવે છે. ચાપની લંબાઈ શોધો.
ચાપ = (2πrθ)360°
= (2 × (227) × 28 × 72)/360
= (2 × 22 × 4 × 72)360
= 12672360 = 35.2 સેમી
જવાબ: 35.2 સેમી
02
r ત્રિજ્યા અને ચાપની લંબાઈ l ધરાવતા વૃતાંશની પરિમિતિ શોધો.
વૃતાંશમાં 2 ત્રિજ્યા + 1 ચાપ હોય છે
પરિમિતિ = r + r + l = 2r + l
જવાબ: 2r + l