✨
Base Theory
📌 મુખ્ય મુદ્દાઓ (Main Points)
1
ત્રિકોણનાં ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો 180° થાય છે.
2
ત્રિકોણની કોઇપણ બે બાજુનો સરવાળો, ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ કરતા હંમેશા વધારે હોય છે.
3
ત્રિકોણની કોઇપણ બે બાજુનો તફાવત, ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ કરતા ઓછો હોય છે.
✨
પ્રકાર 1
કાટકોણ ત્રિકોણ (Right-Angled Triangle)
આ ત્રિકોણમાં એક ખૂણો 90° નો હોય છે અને તેમાં પાયથાગોરસ પ્રમેય (AC2 = AB2 + BC2) લાગુ પડે છે.
• **ક્ષેત્રફળ:** 12 × પાયો × વેધ
• **અંતઃવૃત્તની ત્રિજયા (r):** (પાયો + વેધ - કર્ણ)2
01
ઉદાહરણ 1: એક કાટકોણ ત્રિકોણનાં પાયાનું માપ 7 સેમી અને ઊંચાઈ 24 સેમી હોય તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
ક્ષેત્રફળ = 12 × 7 × 24 = 84 ચો.સેમી
જવાબ: 84 ચો.સેમી
02
ઉદાહરણ 2: કોઈ કાટકોણ ત્રિકોણમાં પાયો 12 સેમી અને કર્ણ 13 સેમી છે, તો આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
પાયથાગોરસ ત્રિપુટી (5, 12, 13) મુજબ વેધ 5 સેમી મળે.
ક્ષેત્રફળ = 12 × 12 × 5 = 30 ચો.સેમી
જવાબ: 30 ચો.સેમી
✨
પ્રકાર 2
સમબાજુ ત્રિકોણ (Equilateral Triangle)
જે ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુના માપ સમાન હોય તેને સમબાજુ ત્રિકોણ કહે છે.
• **ક્ષેત્રફળ:** (√34)a2
• **વેધ (ઊંચાઈ):** (√3a)2
• **પરિમિતિ:** 3a
01
ઉદાહરણ 1: એક સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ 10 સેમી છે, તો તેનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
ઊંચાઈ = (√32) × a = 10
તેથી બાજુ a = 20√3
ક્ષેત્રફળ = (√34) × (20√3)2 = 100√3 ચો.સેમી
જવાબ: 100√3 ચો.સેમી
02
ઉદાહરણ 2: એક સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 16√3 ચો.સેમી છે તો તેની પરિમિતિ કેટલી થાય?
(√34) × a2 = 16√3
તેથી a2 = 64 અને બાજુ a = 8 મળે
પરિમિતિ = 3 × 8 = 24 સેમી
જવાબ: 24 સેમી
✨
પ્રકાર 3
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ (Isosceles Triangle)
ત્રિકોણની કોઇપણ બે બાજુના માપ સમાન હોય તેને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ કહે છે.
• **ક્ષેત્રફળ:** a4(√(4b2 - a2)) (જ્યાં 'b' સમાન બાજુઓ છે અને 'a' પાયો છે)
• **પરિમિતિ:** 2b + a
01
ઉદાહરણ 1: એક ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓનાં માપ 5, 5 અને 6 સેમી છે, તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ક્ષેત્રફળ સૂત્ર મુજબ 64(√(4(5)2 - (6)2))
= 64(√(100 - 36)) = 12 ચો.સેમી
જવાબ: 12 ચો.સેમી
02
ઉદાહરણ 2: કોઈ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે 7 તથા 15 સેમી છે તો આ ત્રિકોણની પરિમિતિ કેટલી થાય?
અહીં બાજુઓ 15, 15 અને 7 હોઈ શકે. (7, 7 અને 15 શક્ય નથી કારણ કે 7+7=14 જે 15 કરતા નાનું છે, અને બે બાજુનો સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુથી વધુ હોવો જોઈએ)
તેથી પરિમિતિ = 15 + 15 + 7 = 37 સેમી
જવાબ: 37 સેમી
✨
પ્રકાર 4
વિષમબાજુ ત્રિકોણ (Scalene Triangle)
ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુના માપ અલગ અલગ હોય તેને વિષમબાજુ ત્રિકોણ કહે છે.
આ માટે હેરોનનું સૂત્ર વપરાય છે: ક્ષેત્રફળ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
અહીં s (અર્ધપરિમિતિ) = (a+b+c)2 છે.
01
ઉદાહરણ 1: એક ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ 10 સેમી, 14 સેમી અને 18 સેમી હોય તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
અર્ધપરિમિતિ s = (10+14+18)2 = 21
ક્ષેત્રફળ = √(21(21-14)(21-10)(21-18)) = 21√11 ચો.સેમી
જવાબ: 21√11 ચો.સેમી
02
ઉદાહરણ 2: એક ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓનાં માપ 5, 6 અને 7 છે, તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
અર્ધપરિમિતિ s = (6+5+7)2 = 9
ક્ષેત્રફળ = √(9(9-6)(9-5)(9-7)) = 6√6 ચો. એકમ
જવાબ: 6√6 ચો. એકમ
✨
Confusion Points
⚠️ મૂંઝવણભર્યા મુદ્દાઓ (Confusion Points)
1
પાયથાગોરસ ત્રિપુટી (Pythagorean Triplets):પરીક્ષામાં સમય બચાવવા ત્રિપુટીઓ ગોખેલી હોવી જોઈએ (દા.ત., 3,4,55,12,137,24,258,15,179,40,41). દાખલા તરીકે, જો કર્ણ 26 આપ્યો હોય અને પરિમિતિ 60 હોય, તો તરત જ (10, 24, 26) ની ત્રિપુટી મગજમાં આવવી જોઈએ જેથી ગણતરી વગર સીધો પાયો 24 અને વેધ 10 ધારી શકાય.
2
અંતઃવૃત્ત અને પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા (Incircle vs Circumcircle):સમબાજુ ત્રિકોણ માટે: અંતઃવૃત્તની ત્રિજયા (r) = a(2√3) અને પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા (R) = a√3 થાય છે. આ બંને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર rR = 12 અને તેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર 14 થાય છે, જે સીધો જ પૂછાઈ શકે છે.
વિષમબાજુ ત્રિકોણ માટે: અંતઃવૃત ત્રિજયા (r) = ક્ષેત્રફળs અને પરિવૃત ત્રિજ્યા (R) = abc4A (જ્યાં A ક્ષેત્રફળ છે) થાય છે.
3
બાજુઓની લંબાઈનો નિયમ:ઘણીવાર પરીક્ષામાં એવી બાજુઓ આપવામાં આવે છે જેનાથી ત્રિકોણ બની જ ન શકે. હંમેશા યાદ રાખો કે, ત્રિકોણની કોઇપણ બે બાજુનો સરવાળો ત્રીજી બાજુથી વધુ હોવો જ જોઈએ (દા.ત. 7, 7, 15 માપનો ત્રિકોણ ન બની શકે).