✨
Base Theory
૧. મુખ્ય મુદ્દાઓ અને સૂત્રો (Main Points & Formulas)
લંબચોરસના દાખલા ગણવા માટે નીચેના પાયાના ખ્યાલો સ્પષ્ટ હોવા જરૂરી છે:
1
બાજુઓ:લંબચોરસની સામ-સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે (AB = CD અને BC = AD).
2
ખૂણાઓ:ચારેય ખૂણા કાટખૂણા એટલે કે 90° હોય છે (∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°).
3
વિકર્ણની લાક્ષણિકતા:વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે, પરંતુ તેઓ કાટખૂણે છેદતા નથી.
4
ક્ષેત્રફળ (Area):લંબાઈ × પહોળાઈ (l × b)
5
પરિમિતિ (Perimeter):2(l + b)
6
વિકર્ણની લંબાઈ (Diagonal):√(l2 + b2)
7
ચાર દીવાલનું ક્ષેત્રફળ (પૃષ્ઠફળ):2h(l + b)
8
લાદીપથ્થરની સંખ્યા શોધવા માટે:(ઓરડાનું કુલ ક્ષેત્રફળ)(એક લાદીનું ક્ષેત્રફળ)
✨
Confusion Points
૨. મૂંઝવતા મુદ્દાઓ (Confusion Points & Traps)
પરીક્ષામાં માર્કસ કપાવવાના મુખ્ય કારણો નીચે મુજબ છે, જ્યાં ખાસ ધ્યાન રાખવું:
1
એકમની અસમાનતા (Unit Mismatch):ઘણીવાર દાખલામાં ઓરડાની લંબાઈ 'મીટર'માં હોય છે અને લાદીની સાઈઝ 'ડેસીમીટર' કે 'સેન્ટીમીટર'માં આપેલી હોય છે. ગણતરી કરતા પહેલા બંનેના એકમ સમાન કરવા ફરજિયાત છે (દા.ત., 1 મીટર = 10 ડેસીમીટર).
2
મહત્તમ લંબાઈની ચોરસ લાદીઓ (Max Size Square Tiles):જ્યારે પ્રશ્નમાં 'વધુમાં વધુ મહત્તમ લંબાઈની ચોરસ લાદીઓ' બેસાડવાની વાત હોય, ત્યારે સીધો ભાગાકાર ન કરતા, લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુ.સા.અ. (HCF) શોધવો પડે છે. આ ગુ.સા.અ. એ ચોરસ લાદીની એક બાજુનું માપ બને છે.
3
ટકાવારીના દાખલામાં સીધો સરવાળોબાદબાકી:લંબાઈમાં 10% વધારો અને પહોળાઈમાં 10% ઘટાડો થાય, તો પરિણામ 0% (કોઈ ફેરફાર નહીં) એવું માની લેવાની ભૂલ ન કરવી. વાસ્તવમાં આવા કિસ્સામાં 1% નો ઘટાડો થાય છે, જેને સૂત્ર કે 100 ધારીને ગણવો પડે.
✨
Formula
પ્રકાર ૧: પાયાના સૂત્રો આધારિત (ક્ષેત્રફળ, પરિમિતિ અને વિકર્ણ)
01
ઉદાહરણ 1: એક લંબચોરસની લંબાઈ 40 મીટર અને પહોળાઈ 30 મીટર છે, તો આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તથા વિકર્ણની લંબાઈ કેટલી થાય?
ક્ષેત્રફળ = 40 × 30 = 1200 ચો.મી.
વિકર્ણ = √(402 + 302)
વિકર્ણ = √(1600 + 900) = √2500 = 50 મીટર.
02
ઉદાહરણ 2: એક લંબચોરસની લંબાઈ 15 સેમી અને તેના વિકર્ણની લંબાઈ 17 સેમી છે, તો લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
પાયથાગોરસની ત્રિપુટી (8, 15, 17) નો ઉપયોગ કરી પહોળાઈ સીધી 8 સેમી મળે છે.
તેથી ક્ષેત્રફળ = 15 × 8 = 120 ચો.સેમી.
✨
Examples
પ્રકાર ૨: ટકાવારીમાં ફેરફાર (Percentage Increase/Decrease)
01
ઉદાહરણ 1: જો કોઈ લંબચોરસની લંબાઈમાં 10% નો વધારો અને પહોળાઈમાં 10% નો ઘટાડો થાય છે તો તેના ક્ષેત્રફળમાં શું ફેર પડે?
10 ધારીને ગણતરી કરતા, અગાઉનું ક્ષેત્રફળ 10 × 10 = 100 થાય.
ફેરફાર પછી નવું ક્ષેત્રફળ 11 × 9 = 99 થાય.
એટલે કે 1% નો ઘટાડો થાય.
02
ઉદાહરણ 2: એક લંબચોરસની લંબાઈમાં 20% નો વધારો અને પહોળાઈમાં 10% નો ઘટાડો કરવામાં આવે તો તેના ક્ષેત્રફળમાં કેટલો ફેર પડે?
અગાઉનું ક્ષેત્રફળ 100 ધારીએ (10 × 10).
નવું ક્ષેત્રફળ 12 × 9 = 108 મળે.
તેથી ક્ષેત્રફળમાં 8% નો વધારો થાય.
✨
Examples
પ્રકાર ૩: રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ (Area of Inner/Cross Paths)
01
ઉદાહરણ 1: 25 મીટર લંબાઈ અને 15 મીટર પહોળા લંબચોરસ બગીચામાં વચ્ચોવચ્ચ 2 મીટર પહોળા બે રસ્તા છે, તો બાકીના ઘાસવાળા ભાગનું ક્ષેત્રફળ કેટલું?
ઘાસવાળા ભાગનું ક્ષેત્રફળ = (કુલ ક્ષેત્રફળ) - (રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ)
ગણતરી: (25 × 15) - [(25 × 2) + (15 × 2) - (2 × 2)]
ઉકેલતા: 375 - [50 + 30 - 4] = 375 - 76 = 299 ચો.મી.
02
ઉદાહરણ 2: 60 મીટર લંબાઈ અને 50 મીટર પહોળાઈના બગીચામાં બરાબર વચ્ચે એકબીજાને છેદતા 5 મીટર પહોળાઈના રસ્તા સિવાયનાં ભાગનું ક્ષેત્રફળ શું થાય?
બગીચાનું કુલ ક્ષેત્રફળ = 60 × 50 = 3000.
રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ = (50 × 5) + (60 × 5) - (5 × 5) = 250 + 300 - 25 = 525.
બાકીનો ભાગ = 3000 - 525 = 2475 ચો.મી.
✨
Examples
પ્રકાર ૪: લાદી કે પથ્થર બેસાડવાના પ્રશ્નો (Tiling Concepts)
01
ઉદાહરણ 1: 40 મીટર લંબાઈ અને 15 મીટર પહોળાઈના વિસ્તારમાં 6 ડેસીમીટર × 5 ડેસીમીટરના કેટલા પથ્થર જોઈએ?
મીટરને ડેસીમીટરમાં ફેરવતા 400 અને 150 મળે (કારણ કે 1 મીટર = 10 ડે.મી.).
પથ્થરની સંખ્યા = (400 × 150)(6 × 5) = 2000 પથ્થર.
02
ઉદાહરણ 2: 15 મીટર 17 સેમી લંબાઈના અને 9 મીટર 2 સેમી પહોળાઈના રૂમમાં વધુમાં વધુ કેટલી મહત્તમ લંબાઈની ચોરસ લાદીઓ બેસાડી શકાય?
લંબાઈ l = 1517 સેમી અને પહોળાઈ b = 902 સેમી.
મહત્તમ સાઈઝ માટે 1517 અને 902 નો ગુ.સા.અ. કાઢતા 41 મળે છે.
તેથી લાદીની સંખ્યા = (1517 × 902)(41 × 41) = 37 × 22 = 814 લાદીઓ.