📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ (Main Points)
ભૂમિતિના કેટલાક મૂળભૂત પદો અને રેખાઓ વિશેની પાયાની માહિતી:
1
અવ્યાખ્યાયિત પદો: ભૂમિતિમાં કેટલાક પદોની વ્યાખ્યા આપી શકાતી નથી, તેને અવ્યાખ્યાયિત પદો કહે છે. દા.ત. બિંદુ, રેખા, સમતલ, અવકાશ.
2
પરિમાણ: બિંદુને કોઈ પરિમાણ હોતું નથી (લંબાઈ કે પહોળાઈ નથી). રેખાને 1 પરિમાણ (ફક્ત લંબાઈ), સમતલને 2 પરિમાણ (લંબાઈ અને પહોળાઈ), અને અવકાશને 3 પરિમાણ (લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) હોય છે.
3
પૂર્વધારણા: ભૂમિતિના અભ્યાસમાં કોઈપણ સાબિતી વગર સ્વીકારવામાં આવતા સત્યો. જેમ કે, 'દરેક રેખાને ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન બિંદુઓ હોય છે' અને 'બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી એક અને માત્ર એક જ રેખા પસાર થાય છે'.
4
રેખાઓ વચ્ચેનો સંબંધ: બે રેખાઓ કાં તો પરસ્પર એક જ બિંદુમાં છેદે, કાં તો ક્યારેય ન છેદે (સમાંતર રેખાઓ), અથવા અનંત બિંદુઓમાં છેદે (સંપાતી રેખાઓ).
📐
Examples
ખૂણા અને તેના પ્રકારો (Types of Angles)
ખૂણાઓ તેમના માપ અને જોડીના આધારે વિવિધ પ્રકારના હોય છે:
1
લઘુકોણ: 90° થી ઓછું માપ (θ < 90°).
2
કાટકોણ: બરાબર 90° માપ (θ = 90°).
3
ગુરુકોણ: 90° થી વધુ અને 180° થી ઓછું માપ (180° > θ > 90°).
4
સરળકોણ: બરાબર 180° માપ (θ = 180°).
5
વિપરીત કોણ: 180° થી વધુ અને 360° થી ઓછું માપ (180° < θ < 360°).
6
પૂર્ણવૃત્ત કોણ: બરાબર 360° માપ (θ = 360°).
7
કોટિકોણ (Complementary): બે ખૂણાઓના માપનો સરવાળો 90° થાય.
8
પૂરકકોણ (Supplementary): બે ખૂણાઓના માપનો સરવાળો 180° થાય.
9
રૈખિક જોડ (Linear Pair): બે આસન્ન ખૂણાઓની એક બાજુ સામાન્ય હોય અને બાકીની બે બાજુઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ કિરણો હોય (સરવાળો 180° થાય).
10
અભિકોણ (Vertically Opposite): બે રેખાઓ છેદવાથી બનતા સામસામેના ખૂણા, જે હંમેશા સમાન (એકરૂપ) હોય છે.
📏
Quick Notes
છેદિકા વડે બનતા ખૂણા
જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓને કોઈ એક છેદિકા કાપે ત્યારે કુલ 8 ખૂણાઓ બને છે:
1
અનુકોણ: 4 જોડ બને. આકાર L જેવો હોય. (સમાંતર રેખાઓ માટે એકરૂપ હોય).
2
યુગ્મકોણ: 2 જોડ બને. આકાર Z જેવો હોય. (સમાંતર રેખાઓ માટે એકરૂપ હોય).
3
અંતઃકોણ (છેદિકાની એક તરફના): 2 જોડ બને. આકાર C જેવો હોય. (બંનેનો સરવાળો પૂરક એટલે કે 180° થાય).
📝
Type 1
કોટિકોણ અને પૂરકકોણ પર આધારિત
ખૂણાઓના માપના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત કિંમત શોધવી.
01
જો બે કોટિકોણ અનુક્રમે (2x - 20)° અને (x - 10)° હોય, તો x ની કિંમત શોધો.
કોટિકોણનો સરવાળો 90° થાય.
તેથી, (2x - 20) + (x - 10) = 90
3x - 30 = 90
3x = 120
x = 40°
જવાબ: (D) 40°
02
બે પૂરકકોણોનો ગુણોત્તર 6 : 4 છે. તો મોટા ખૂણાનું માપ શોધો.
પૂરકકોણનો સરવાળો 180° થાય. ધારો કે ખૂણા 6x અને 4x છે.
તેથી, 6x + 4x = 180
10x = 180
x = 18°
મોટો ખૂણો = 6 × 18 = 108°
જવાબ: (C) 108°
📐
Type 2
છેદિકા અને સમાંતર રેખાઓ પર આધારિત
છેદિકા દ્વારા બનતા ખૂણાઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ.
01
આકૃતિમાં AB અને DC છેદે છે. જો ∠AOC = 125° હોય, તો ∠BOD શોધો.
બે રેખાઓ છેદવાથી બનતા અભિકોણો સમાન હોય છે.
∠AOC અને ∠BOD બંને અભિકોણની જોડ છે.
તેથી ∠BOD = ∠AOC = 125° થશે.
જવાબ: (A) 125°
02
જો એક જ છેદિકાની એક તરફના આસન્ન કોણ 4x અને 6x હોય અને તેમનો સરવાળો 130° હોય તો x શોધો.
અહીં દાખલાની શરત મુજબ આસન્ન કોણનો સરવાળો 130° છે.
4x + 6x = 130°
10x = 130°
x = 13°
જવાબ: (B) 13°
⚠️
Confusion Points
મૂંઝવણભર્યા મુદ્દાઓ (Confusion Points)
પરીક્ષામાં સ્કોરિંગ માટે નાની-નાની ભૂલો ટાળવી ખૂબ જરૂરી છે:
1
રેખા, રેખાખંડ અને કિરણ વચ્ચેનો ભેદ: રેખા બંને તરફ અનંત સુધી જાય છે, તેને મધ્યબિંદુ નથી. રેખાખંડને બે અંત્યબિંદુઓ અને એક મધ્યબિંદુ હોય છે. કિરણને એક જ ઉદ્ભવબિંદુ હોય છે અને તે એક તરફ અનંત વિસ્તરે છે, તેને પણ મધ્યબિંદુ નથી.
2
કોટિકોણ vs પૂરકકોણ નો સરવાળો: કોટિકોણનો સરવાળો 90° અને પૂરકકોણનો સરવાળો 180° થાય. (યાદ રાખવાની રીત: ગણિતમાં 90 પહેલા આવે અને 180 પછી, શબ્દકોશ પ્રમાણે પણ 'ક' પહેલા આવે).
3
આસન્ન ખૂણા (Adjacent) vs રૈખિક જોડ (Linear Pair): બધા જ રૈખિક જોડના ખૂણાઓ આસન્ન ખૂણા કહેવાય, પરંતુ બધા આસન્ન ખૂણા રૈખિક જોડ બનાવતા નથી. રૈખિક જોડ બનવા માટે તેમની સામાન્ય ન હોય તેવી બાજુઓએ સીધી રેખા બનાવવી ફરજિયાત છે.
4
લંબદ્વિભાજક (Perpendicular Bisector) ની સંખ્યા: એક રેખાખંડમાંથી અસંખ્ય દ્વિભાજક પસાર થઈ શકે, પરંતુ રેખાખંડને લંબદ્વિભાજક (90° ના ખૂણે કાપતો) એક અને માત્ર એક જ (અનન્ય) હોય છે.