📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
આખી PDF બે મુખ્ય કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણોત્તર પર આધારિત છે, જે ગણતરીને ઝડપી બનાવે છે:
1
30°-60°-90° ત્રિકોણનો નિયમ: આ ત્રિકોણમાં બાજુઓનો ગુણોત્તર 1 : √3 : 2 હોય છે.
2
30° ની સામેની બાજુનું માપ = 1 એકમ
3
60° ની સામેની બાજુનું માપ = √3 એકમ
4
કર્ણ (સૌથી મોટી બાજુ) = 2 એકમ
5
45°-45°-90° ત્રિકોણનો નિયમ: જ્યારે બે બાજુના માપ સરખા હોય (જેમ કે ટાવરની ઊંચાઈ અને અંતર સમાન હોય), ત્યારે ખૂણો હંમેશા 45° બને છે.
6
આ ત્રિકોણમાં બાજુઓનો ગુણોત્તર 1 : 1 : √2 હોય છે.
7
અવસેધકોણ અને ઉત્સેધકોણ સમાન હોય છે: ઉપરથી નીચે જોતાં બનતો ખૂણો (અવસેધકોણ) અને નીચેથી ઉપર જોતાં બનતો ખૂણો (ઉત્સેધકોણ) સમાંતર રેખાઓના નિયમ મુજબ સમાન ગણાય છે.
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
સામાન્ય રીતે થતી ભૂલો અને તેમને ટાળવાની રીત:
1
ગુણોત્તર મૂકવામાં ભૂલ: કયા ખૂણા સામે કયું માપ લેવું તેમાં વિદ્યાર્થીઓ ગોટાળો કરે છે. હંમેશા યાદ રાખો: નાના ખૂણા (30°) ની સામે નાની બાજુ (1) અને મોટા ખૂણા (60°) ની સામે મોટી બાજુ (√3) આવે.
2
ઝાડ તૂટવાવાળા દાખલામાં કર્ણની ગણતરી: જ્યારે ઝાડ તૂટીને જમીનને અડે છે, ત્યારે ઝાડની 'કુલ ઊંચાઈ' શોધતી વખતે ઉભેલો ભાગ (લંબ બાજુ) અને નમી ગયેલો ભાગ (કર્ણ) બંનેનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે, જે ઘણીવાર ભૂલાઈ જાય છે.
3
વ્યક્તિની ઊંચાઈ ઉમેરવી: જ્યારે દાખલામાં અવલોકનકાર (વ્યક્તિ) ની ઊંચાઈ અલગથી આપી હોય, ત્યારે છેલ્લે મળેલા જવાબમાં તે ઊંચાઈ ઉમેરવી પડે છે, અન્યથા જવાબ ખોટો આવે છે.
📏
Type 1
સીધું અંતર કે ઊંચાઈ શોધવી (Direct Height/Distance)
અહીં ખૂણો અને એક બાજુનું માપ આપેલું હોય છે, તેના પરથી બીજી બાજુ કે ઊંચાઈ શોધવાની હોય છે.
01
જમીનને લંબ ઉભા કરેલા ટાવરથી 15 મીટર દૂર આવેલા બિંદુથી ટોચનો ઉત્સેધકોણ 60° હોય તો ટાવરની ઊંચાઈ કેટલી હશે?
30° ની સામેની બાજુ (પાયો) = 15 મીટર છે (ગુણોત્તર 1 મુજબ).
60° ની સામેની બાજુ (ટાવરની ઊંચાઈ) માપવી છે, જે ×15 ગણી થશે.
તેથી, ઊંચાઈ x = √3 × 15 = 15√3 મીટર થાય.
જવાબ: (C) 15√3
02
એક પતંગની દોરી 400 મીટર છે. અને તે સમક્ષિતિજ સાથે 60° નો ખૂણો બનાવે છે. તો પતંગની ઊંચાઈ શોધો.
અહીં દોરી એટલે કર્ણ (ગુણોત્તર 2) છે.
2 ના 200 ગણા એટલે 400 મીટર થાય.
પતંગની ઊંચાઈ 60° ની સામેની બાજુ (√3) ગણાય.
તેથી ઊંચાઈ x = √3 × 200 = 200√3
√3 = 1.73 લેતાં, x = 200 × 1.73 = 346 મીટર થાય.
જવાબ: (C) 346
📐
Type 2
ખૂણાનું માપ શોધવું (Finding the Angle)
આ પ્રકારમાં ત્રિકોણની બે બાજુઓના માપ આપ્યા હોય છે, તેના ગુણોત્તર પરથી ખૂણો નક્કી કરવાનો હોય છે.
01
27 મીટર ઊંચાઈ ધરાવતા થાંભલાથી જમીન પર 9√3 મીટર દૂર આવેલ જગ્યા પર ઉભેલા વ્યક્તિ દ્વારા થાંભલાનો ટોચનો ભાગ જોતાં, બનતા ઉત્સેધકોણનું માપ શોધો.
લંબ ઊંચાઈ અને પાયાનો ગુણોત્તર લઈએ: 279√3 = 3√3 = (√3 × √3)√3 = √3
સામેની બાજુનો ગુણોત્તર √3 આવે છે, જે દર્શાવે છે કે ખૂણો 60° નો હોવો જોઈએ.
જવાબ: (B) 60°
02
કોઈ થાંભલાની ઊંચાઈને સમાન અંતરે ઉભેલા વ્યક્તિ દ્વારા થાંભલાની ટોચનો ઉત્સેધકોણ શોધો.
જ્યારે ઊંચાઈ (સામેની બાજુ) અને અંતર (પાસેની બાજુ) ના માપ સમાન (h) હોય છે, ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ગુણોત્તર 1:1 થાય છે.
આ સ્થિતિમાં ખૂણો (θ) ની કિંમત હંમેશા 45° જ હોય છે.
જવાબ: (B) 45°
🌲
Type 3
પડછાયા અને ઝાડ તૂટવાવાળા દાખલા (Shadows & Broken Objects)
આ પ્રકારમાં વાસ્તવિક જીવનની પરિસ્થિતિઓ જેવી કે ઝાડનું પડવું કે પડછાયાની લંબાઈના આધારે દાખલા ગણવાના હોય છે.
01
કોઈ 80 મીટર ઊંચાઈના થાંભલાનો પડછાયો અને ઊંચાઈનું પ્રમાણ √3 : 2 છે. તો થાંભલાના પડછાયાની લંબાઈ શોધો.
અહીં ગુણોત્તર પડછાયોઊંચાઈ = √32 છે.
તેથી x80 = √32 મુકતા, પડછાયો x = (√3 × 80)2 = 40√3 થાય.
જવાબ: (B) 40√3
02
જમીનને લંબ 60 મીટર ઊંચુ એક ઝાડ, વાવાઝોડું આવતા વચ્ચેથી તૂટીને એક બાજુ નમી જાય છે. જો બાકી રહેલા ઉભા ઝાડની ઉચાઈ 20 મીટર હોય તો નમી ગયેલા ઝાડે જમીન સાથે બનાવેલા ખૂણાનું માપ શોધો.
ઝાડની કુલ ઊંચાઈ 60 મીટર છે. ઉભેલો ભાગ (સામેની બાજુ) = 20 મીટર છે.
તો તૂટેલો ભાગ જે કર્ણ બન્યો તે = 60 - 20 = 40 મીટર થાય.
અહીં સામેની બાજુ (20) અને કર્ણ (40) નો ગુણોત્તર 1:2 થાય છે.
30° ની સામેની બાજુ કરતા કર્ણનું માપ હંમેશા બમણું હોય છે. તેથી ખૂણો 30° બને.
જવાબ: (A) 30°
🧠
Type 4
જટિલ દાખલા (Complex Scenarios)
જેમાં સમીકરણ બનાવવું પડે અથવા વ્યક્તિની ઊંચાઈને ધ્યાનમાં લેવી પડે.
01
1.5 મીટર ઊંચાઇવાળો 1 વ્યક્તિ, એક ચીમનીથી 28.5 મીટર દૂર રાખેલ છે. તેની આંખથી ચીમનીનાં ટોચનાં ઉત્સેધકોણનું માપ 45° છે. તો ચીમનીની ઊંચાઈ શોધો.
ખૂણો 45° હોવાથી, વ્યક્તિની આંખથી ઉપરની ચીમનીની ઊંચાઈ અને ચીમનીથી વ્યક્તિનું અંતર સમાન (28.5 મીટર) થશે.
પરંતુ જમીનથી કુલ ઊંચાઈ શોધવા માટે તેમાં વ્યક્તિની ઊંચાઈ (1.5 મીટર) ઉમેરવી પડે.
એટલે કે 28.5 + 1.5 = 30.0 મીટર.
જવાબ: (D) 30
02
સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ 30° થી 60° થવા પર એક થાંભલાનો પડછાયો 20 મીટર ઓછો થઈ જાય છે. તો થાંભલાની ઊંચાઈ શોધો.
અહીં બે સમીકરણ બને છે.
પાયો x ધારતા, tan(30°) = hx એટલે કે h = x√3 (સમી. 1)
બીજું સમીકરણ tan(60°) = h(x-20) પરથી √31 = h(x-20) બને છે.
બંને ઊંચાઈ h ને સરખાવતા x√3 = √3(x-20) થાય.
ઉકેલતા, x = 30 મળે છે.
સમી. (1) માં કિંમત મુકતા ઊંચાઈ h = 30√3 = 10√3 મીટર થાય.
જવાબ: (A) 10√3