📘
Quick Notes
૧. પાયાની સમજ
કોઈપણ સંખ્યાને તે જ સંખ્યા સાથે ગુણવાથી 'વર્ગ' મળે છે. આનો ભૌમિતિક અર્થ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા જેવો છે.
| શબ્દસંકેત | વ્યાખ્યાઅર્થ | ઉદાહરણ |
|---|---|---|
વર્ગ (Square) | n2 = n × n (સંખ્યાનો પોતાની સાથે ગુણાકાર) | 52 = 5 × 5 = 25 |
ભૌમિતિક અર્થ | ચોરસની ભુજાનો વર્ગ = તેનું ક્ષેત્રફળ | 4m ભુજા → 4 × 4 = 16 m2 |
Perfect Square | જે સંખ્યા કોઈ પૂર્ણ સંખ્યાના વર્ગ તરીકે હોય. | 25 = 52 (છે), 26 (નથી) |
નોંધ:
ચોરસની બાજુની લંબાઈ વધે તો તેનું ક્ષેત્રફળ તેના વર્ગના પ્રમાણમાં વધે છે.
📊
Base Theory
૨. ૧ થી ૩૦ ના વર્ગ
ઝડપી ગણતરી માટે ૧ થી ૩૦ ના વર્ગ મોઢે કરવા ખૂબ જરૂરી છે:
| n | n2 | n | n2 | n | n2 |
|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 11 | 121 | 21 | 441 |
2 | 4 | 12 | 144 | 22 | 484 |
3 | 9 | 13 | 169 | 23 | 529 |
4 | 16 | 14 | 196 | 24 | 576 |
5 | 25 | 15 | 225 | 25 | 625 |
6 | 36 | 16 | 256 | 26 | 676 |
7 | 49 | 17 | 289 | 27 | 729 |
8 | 64 | 18 | 324 | 28 | 784 |
9 | 81 | 19 | 361 | 29 | 841 |
10 | 100 | 20 | 400 | 30 | 900 |
💡
Base Theory
૩. એકમનો અંક અને પેટર્ન
Perfect Square ઓળખવા માટે એકમનો અંક (Units Digit) સૌથી શ્રેષ્ઠ પ્રો-ટિપ છે:
| સંખ્યાનો એકમનો અંક | વર્ગનો એકમનો અંક | ઉદાહરણ |
|---|---|---|
1 અથવા 9 | 1 | 92=81, 112=121 |
2 અથવા 8 | 4 | 82=64, 122=144 |
3 અથવા 7 | 9 | 72=49, 132=169 |
4 અથવા 6 | 6 | 42=16, 142=196 |
5 | 5 | 52=25, 152=225 |
0 | 0 | 102=100, 202=400 |
1
Perfect square ની એકમનો અંક ક્યારેય 2, 3, 7, 8 ન હોય. ❌
2
તે હંમેશા 0, 1, 4, 5, 6, કે 9 માંથી જ હોય. ✅
📜
Base Theory
૪. વર્ગના ગુણધર્મો
પરીક્ષા માટે આ ૧૦ ગુણધર્મો ખૂબ જ મહત્વના છે:
1
P1: એકી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા એકી જ આવે. (32=9)
2
P2: બેકી સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા બેકી જ આવે. (42=16)
3
P3: એકમનો અંક ક્યારેય 2, 3, 7, 8 ન હોય.
4
P4: ક્રમિક એકી સંખ્યાનો સરવાળો (1+3+5...+2n-1) = n2 થાય. (દા.ત. 1+3+5+7 = 42 = 16)
5
P5: બે ક્રમિક વર્ગોનો તફાવત: (n+1)2 – n2 = 2n + 1 (દા.ત. 62-52 = 36-25 = 11)
6
P6: શૂન્યનો નિયમ: પૂર્ણવર્ગમાં શૂન્ય હંમેશા બેકી સંખ્યામાં હોય. (100 ✓, 1000 ✗)
7
P7: પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી: (2m, m2–1, m2+1) જ્યાં m > 1. (દા.ત. 3, 4, 5)
8
P8: ઋણ સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા ધન (Positive) જ આવે. [(-5)2 = 25]
9
P9: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
10
P10: (a–b)2 = a2 – 2ab + b2
🧮
Formula
૫. અગત્યના સૂત્રો
ઝડપી ગણતરી માટે આ સૂત્રો યાદ રાખો:
1
Square of sum
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2
Square of difference
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3
Difference of squares
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
4
Three terms square
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
🔥
Base Theory
૬. સ્પીડ ટ્રિક્સ
મોટી સંખ્યાઓનો વર્ગ સેકન્ડોમાં કાઢો:
1
નજીકના રાઉન્ડ નંબરથી (n2 = (n-d)(n+d) + d2): 972 → (94×100) + 32 = 9409.
2
એકમનો અંક 5 હોય (a52): [a × (a+1)] અને પાછળ 25. (દા.ત. 752 → 7×8=56 → 5625).
3
Vedic Method (Near 100): 1032 → (100+3)2 = 10000 + 600 + 9 = 10609.
🟢
Examples
૭. ઉદાહરણો
વિવિધ રીતોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી:
01
23 નો વર્ગ કાઢો (સૂત્રની મદદથી).
23 = 20 + 3 (a=20, b=3)
સૂત્ર: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
ગણતરી: 202 + 2(20)(3) + 32
400 + 120 + 9
જવાબ = 529
02
ચેક કરો: 450 પૂર્ણવર્ગ છે?
અવયવ પાડો: 450 = 2 × 32 × 52
અહીં 3 અને 5 ની જોડી છે, પણ 2 એકલો છે.
જોડી પૂર્ણ નથી, તેથી 450 પૂર્ણવર્ગ નથી.
જવાબ = ના
📐
Base Theory
૮. વર્ગમૂળ અને ગુણધર્મો
વર્ગમૂળ એ વર્ગની ઉલ્ટી પ્રક્રિયા છે. (√p = n ⟹ n2 = p)
1
R1: √(a × b) = √a × √b
2
R2: √(ab) = √a√b
3
R3: ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક ન હોઈ શકે (Imaginary).
4
R4: √0 = 0 અને √1 = 1.
5
R5: √(n2) = |n| (હંમેશા ધન કિંમત).
6
R6: બે ક્રમિક વર્ગોની વચ્ચે આવતી સંખ્યાના વર્ગમૂળ પૂર્ણાંક ન હોય. (5 < √30 < 6)
🔍
Base Theory
૯. વર્ગમૂળ શોધવાની રીતો
વર્ગમૂળ શોધવા માટે મુખ્યત્વે બે રીત વપરાય છે:
| રીત | ક્યારે વાપરવી? | ફાયદો |
|---|---|---|
Prime Factorization | નાની સંખ્યાઓ માટે | ચોકસાઈ |
Long Division | મોટી અને દશાંશ સંખ્યા માટે | ઝડપ |
1
૧. અવિભાજ્ય અવયવની રીત (Prime Factorization): જોડી બનાવીને એક-એક અવયવ લેવો.
2
૨. ભાગાકારની રીત (Long Division): મોટી સંખ્યાઓ અને દશાંશ સંખ્યાઓ માટે શ્રેષ્ઠ.
🔴
Examples
૧૦. પરીક્ષા લક્ષી પ્રેક્ટિસ
પરીક્ષામાં વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો:
01
√1764 શોધો (અવયવની રીતે).
1764 = 22 × 32 × 72
√1764 = 2 × 3 × 7
જવાબ = 42
02
252 ને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા કઈ નાનામાં નાની સંખ્યા વડે ગુણવા જોઈએ?
252 = 22 × 32 × 7
અહીં 7 ની એક જ ઘાત છે.
તેથી 7 વડે ગુણવા પડે (252 × 7 = 1764).
જવાબ = 7
🏆
Quick Notes
૧૧. ઝડપી રિવિઝન
પરીક્ષાના દિવસે છેલ્લી ઘડીએ આ યાદ રાખો:
1
🎯 ૧ થી ૩૦ ના વર્ગ મોઢે રાખો.
2
🎯 એકમનો અંક 2, 3, 7, 8 હોય તો ક્યારેય પૂર્ણવર્ગ ના હોય.
3
🎯 n ક્રમિક એકી સંખ્યાનો સરવાળો = n2.
4
🎯 (a±b)2 ના સૂત્રો ઝડપી ગણતરીમાં વાપરો.
5
🎯 દશાંશ વાળી સંખ્યામાં વર્ગમૂળ કાઢતા દશાંશ સ્થળ અડધા થઈ જાય.