📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
બીજગણિતના પ્રમાણિત સૂત્રો, જેનો ઉપયોગ લાંબા દાખલાઓની ગણતરી ટૂંકમાં કરવા માટે થાય છે:
1
વર્ગના સૂત્રો: (a+b)2 = a2+2ab+b2 | (a-b)2 = a2-2ab+b2
2
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) | a2-b2 = (a-b)(a+b)
3
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
4
ઘનના સૂત્રો: a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) અથવા (a+b)3-3ab(a+b)
5
a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) અથવા (a-b)3+3ab(a-b)
6
a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
વિદ્યાર્થીઓ સામાન્ય રીતે જ્યાં ભૂલ કરે છે તેવા ખાસ મુદ્દાઓ:
1
નિશાનીઓની ભૂલ: (a-b)3 = a3-b3-3ab(a-b) થાય. જ્યારે a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) થાય — બીજા કૌંસમાં બધે પ્લસ (+) આવે.
2
ઘાતાંક: (xᵃ)ᵇ = xab ગુણાકાર થાય. પણ xᵃ × xᵇ = xa+b સરવાળો થાય.
3
શોર્ટકટ: જ્યારે x + 1x = 2 હોય, ત્યારે x100 + 1x100 નો જવાબ હંમેશા 2 જ મળે.
🔍
Type 1
અજ્ઞાત કિંમત શોધવી (Value Finding)
અમુક પદોનો સરવાળો કે ગુણાકાર આપેલો હોય અને તેના પરથી વર્ગ કે ઘનની કિંમત શોધવાની હોય છે.
01
જો a+b = 5 અને ab = 3 હોય તો a3+b3 = ?
સૂત્ર: (a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)
(5)3 = a3+b3 + 3(3)(5)
125 = a3+b3 + 45
a3+b3 = 125 - 45
જવાબ: a3+b3 = 80
02
જો xy = 18 અને x2+y2 = 45 હોય તો x+y = ?
સૂત્ર: (x+y)2 = x2+y2+2xy
(x+y)2 = 45 + 2(18)
(x+y)2 = 45 + 36 = 81
વર્ગમૂળ કાઢતા: x+y = √81
જવાબ: x+y = 9
📐
Type 2
બહુપદીઓનું વિસ્તરણ (Expansion)
કૌંસનો વર્ગ આપેલો હોય અને તેનું વિસ્તરણ કરવાનું હોય છે.
01
(2x+y)2 = ?
સૂત્ર: (a+b)2 = a2+2ab+b2
a = 2x, b = y
(2x)2 + 2(2x)(y) + (y)2
જવાબ: 4x2 + 4xy + y2
02
(2x+3y+4z)2 = ?
સૂત્ર: (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
a=2x, b=3y, c=4z
= (2x)2+(3y)2+(4z)2+2(2x·3y)+2(3y·4z)+2(4z·2x)
જવાબ: 4x2+9y2+16z2+12xy+24yz+16zx
✂️
Type 3
અપૂર્ણાંકોનું સાદુંરૂપ (Simplification)
દેખાવમાં અઘરા લાગતા દાખલા જે સૂત્રથી 2 સેકન્ડમાં ઉકેલાય છે.
01
(x2-4)(x-2) = ?
x2-4 = x2-22 = (x-2)(x+2)
અંશ: (x-2)(x+2), છેદ: (x-2)
(x-2) ઉડી જાય.
જવાબ: x+2
02
2.83+1.73+1.53-3(2.8)(1.7)(1.5) ÷ (2.82+1.72+1.52-2.8×1.7-1.7×1.5-1.5×2.8) = ?
સૂત્ર: a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
અંશ = (a+b+c) × છેદ
છેદ ઉડી જતા ફક્ત (a+b+c) વધે.
જવાબ: 2.8+1.7+1.5 = 6
⚡
Type 4
ઘાતાંકના નિયમો (Exponent Rules)
આધાર સરખા હોય ત્યારે ઘાતાંકની સરખામણી કરવામાં આવે છે.
01
32x-16 × 4x-5 = 64 તો x = ?
64 = 43 × 30
32x-16 × 4x-5 = 30 × 43
આધાર સરખાવતા: 2x-16 = 0 → x = 8
અને x-5 = 3 → x = 8
જવાબ: x = 8
02
3x2+2y-5z અને 7x2-3y+6z નો સરવાળો શોધો.
સમાન પદોનો સરવાળો:
x2 ના: 3+7 = 10x2
y ના: 2+(-3) = -y
z ના: -5+6 = +z
જવાબ: 10x2 - y + z