📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
ગણ (Set Theory) ના મૂળભૂત ખ્યાલો:
1
ગણને દર્શાવવાની મુખ્ય બે રીતો છે: યાદીની રીત અને ગુણધર્મની રીત.
2
યાદીની રીતનું ઉદાહરણ: A = {1, 2, 3}
3
ગુણધર્મની રીતનું ઉદાહરણ: A = {x | x ≤ 3, x ∈ N}
4
ઉપગણની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર 2n છે, જ્યાં n એ ગણની સભ્ય સંખ્યા દર્શાવે છે.
5
દરેક ગણ એ પોતાનો ઉપગણ છે અને ખાલી ગણ એ દરેક ગણનો ઉપગણ છે.
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
પરીક્ષામાં વારંવાર પૂછાતા અને મૂંઝવણ ઉભી કરતા મુદ્દાઓ:
1
સમાન ગણ vs સામ્ય ગણ: દરેક સમાન ગણ એ સામ્ય ગણ છે, પરંતુ દરેક સામ્ય ગણ એ સમાન ગણ હોવો જરૂરી નથી.
2
ખાલી ગણ અને શૂન્યના ઉપગણો: ખાલી ગણને (∅) માત્ર એક જ ઉપગણ હોય છે (20 = 1). પરંતુ ગણ {0} એ એકાંકી ગણ હોવાથી તેને બે ઉપગણ હોય છે (21 = 2).
3
સંખ્યા ગણોનો ક્રમ: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R હંમેશા આ જ ક્રમ રહે છે.
4
યોગગણના ગુણધર્મો: જો A ∪ B = A થતું હોય, તો B ⊂ A થાય. અને A ∩ (A ∪ B) = A હંમેશા થાય છે.
5
અસંયુક્ત ગણ (Disjoint Sets): જો બે ગણ A અને B અસંયુક્ત હોય, તો n(A ∪ B) = n(A) + n(B) સીધું થાય.
6
પૂરકનો પૂરક: કોઈપણ ગણ A માટે (A')' = A જ થાય છે.
🗂️
Type 1
સામ્ય ગણ અને સમાન ગણ
સામ્ય ગણ: સભ્ય સંખ્યા સમાન. સમાન ગણ: સભ્યો બિલકુલ સરખા.
01
A = {1, 2, 3} અને B = {a, b, c} — આ બે ગણ કયા પ્રકારના છે?
A ના સભ્યોની સંખ્યા = 3
B ના સભ્યોની સંખ્યા = 3
સભ્ય સંખ્યા સમાન છે, પરંતુ સભ્યો અલગ છે.
જવાબ: A ≅ B (સામ્ય ગણ)
02
A = {1, 2, 3, 4} અને B = {X | X ≤ 4, X ∈ N} — આ બે ગણ કયા પ્રકારના છે?
B = {1, 2, 3, 4} થાય.
A અને B ના સભ્યો બરાબર સરખા છે.
જવાબ: A = B (સમાન ગણ)
📦
Type 2
સાન્ત ગણ, અનંત ગણ, ખાલી ગણ અને એકાંકી ગણ
ગણના સભ્યોની સંખ્યા પરથી ગણનો પ્રકાર નક્કી થાય છે.
01
A = {1, 2, 3} — આ ગણ કયા પ્રકારનો છે?
A ના સભ્યોની સંખ્યા = 3 (ગણી શકાય છે)
જવાબ: સાન્ત ગણ (Finite Set)
02
6 ના અવયવીઓનો ગણ A = {6, 12, 18, 24, ...} — આ ગણ કયા પ્રકારનો છે?
આ ગણમાં સભ્યો અનંત સુધી ચાલુ રહે છે.
ગણી શકાતા નથી.
જવાબ: અનંત ગણ (Infinite Set)
03
5 અને 6 ની વચ્ચે આવતી પૂર્ણ સંખ્યાઓનો ગણ શોધો.
5 અને 6 ની વચ્ચે કોઈ પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
ગણમાં એક પણ સભ્ય નથી.
જવાબ: ∅ (ખાલી ગણEmpty Set)
04
બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યાનો ગણ શોધો.
2 એ એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
A = {2} — માત્ર એક જ સભ્ય છે.
જવાબ: {2} (એકાંકી ગણSingleton Set)
🌐
Type 3
સાર્વત્રિક ગણ અને પૂરક ગણ
સાર્વત્રિક ગણ (U) તમામ ગણને સમાવે છે. પૂરક ગણ (A') = U માં છે પણ A માં નથી.
01
જો U = {1, 2, 3, 4, 5} અને A = {1, 2, 3} હોય તો A' શોધો.
A' = U - A
U માં છે પણ A માં નથી તેવા સભ્યો: {4, 5}
જવાબ: A' = {4, 5}
02
જો U = {1 થી 10} અને A = {બેકી સંખ્યાઓ} = {2, 4, 6, 8, 10} હોય તો A' શોધો.
A' = U - A
U માં છે પણ A માં નથી: {1, 3, 5, 7, 9}
જવાબ: A' = {1, 3, 5, 7, 9} (એકી સંખ્યાઓ)
⚙️
Type 4
ઉપગણ (Subset)
જો ગણ A ના તમામ સભ્યો ગણ B માં સમાયેલા હોય તો A ⊂ B. ઉપગણોની સંખ્યા = 2n.
01
A = {1, 2} અને B = {1, 2, 3, 4} — A એ B નો ઉપગણ છે?
A ના બધા સભ્યો (1 અને 2) B માં છે.
જવાબ: હા, A ⊂ B
02
A = {a, b, c} ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા શોધો.
n(A) = 3
ઉપગણની સંખ્યા = 2n = 23 = 8
જવાબ: 8 ઉપગણ
🔗
Type 5
યોગગણ અને છેદગણ (Union & Intersection)
યોગગણ (A ∪ B): A અથવા B માં હોય. છેદગણ (A ∩ B): બંનેમાં સમાન હોય.
01
A = {1, 2, 3} અને B = {3, 4, 5} હોય તો A ∪ B શોધો.
A ∪ B = A ના + B ના બધા સભ્યો (પુનરાવર્તન વગર)
= {1, 2, 3, 4, 5}
જવાબ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
02
A = {1, 2, 3} અને B = {3, 4, 5} હોય તો A ∩ B શોધો.
A ∩ B = A અને B બંનેમાં સમાન સભ્યો
= {3}
જવાબ: A ∩ B = {3}