📌
Base Theory
મુખ્ય મુદ્દાઓ
યામ ભૂમિતિના પાયાના સિદ્ધાંતો:
1
જનકપિતા: ઈ.સ. 1637 માં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી રેને દ'કાર્તને યામ ભૂમિતિના જનક કે પિતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
2
અન્ય નામ: યામ ભૂમિતિને 'કાર્તિઝિયન યામ પદ્ધતિ' પણ કહે છે. આ પદ્ધતિમાં ગણિતના બે વિષયો (બીજગણિત અને ભૂમિતિ) નો સમન્વય જોવા મળે છે.
3
અક્ષની સમજૂતી: x-અક્ષને સમક્ષિતિજ રેખા અથવા કોટી કહે છે. y-અક્ષને શિરોલંબ રેખા અથવા ભૂજ કહે છે. x-અક્ષ અને y-અક્ષ બંને પરસ્પર કાટખૂણે છેદે છે.
4
ઊગમબિંદુ: x-અક્ષ અને y-અક્ષના છેદબિંદુને ઊગમબિંદુ કહે છે અને તેના યામ (0, 0) હોય છે.
5
ચરણ (Quadrants): પ્રથમ ચરણ (I): (+, +) | દ્વિતીય ચરણ (II): (-, +) | તૃતીય ચરણ (III): (-, -) | ચતુર્થ ચરણ (IV): (+, -)
⚠️
Confusion Points
કન્ફ્યુઝન પોઇન્ટ્સ (Confusion Points)
વિદ્યાર્થીઓ સામાન્ય રીતે આ બાબતોમાં ભૂલ કરતા હોય છે:
1
કોટી અને ભૂજ: હંમેશા યાદ રાખો કે x-અક્ષ એટલે 'કોટી' અને y-અક્ષ એટલે 'ભૂજ'.
2
સમરેખ બિંદુઓ: જો આપેલા ત્રણ બિંદુઓ (A, B, અને C) સમરેખ હોય, તો તેમના વડે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ હંમેશા 0 (શૂન્ય) થાય છે.
3
અક્ષ પરના બિંદુઓ: જો કોઈ બિંદુ y-અક્ષ પર આવેલું હોય, તો તેનો x-યામ હંમેશા શૂન્ય થાય છે (0, y). જો કોઈ બિંદુ x-અક્ષ પર આવેલું હોય, તો તેનો y-યામ હંમેશા શૂન્ય થાય છે (x, 0).
📏
Type 1
અંતર સૂત્ર (Distance Formula)
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે. સૂત્ર: AB = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2)
01
બિંદુઓ A(-2, 3) અને B(3, -9) વચ્ચેનું અંતર શોધો.
અંતર AB = √((3 - (-2))2 + (-9 - 3)2)
= √(52 + (-12)2)
= √(25 + 144) = √169
જવાબ: AB = 13
02
બિંદુઓ A(2, 3) અને B(4, 1) વચ્ચેનું અંતર શોધો.
અંતર AB = √((4 - 2)2 + (1 - 3)2)
= √(22 + (-2)2)
= √(4 + 4) = √8 = 2√2
જવાબ: AB = 2√2
⭐
Type 2
મધ્યબિંદુનાં યામ (Midpoint Formula)
રેખાખંડના બરાબર વચ્ચે આવેલા બિંદુના યામ શોધવા માટે. સૂત્ર: P(x, y) = ((x1+x2)2, (y1+y2)2)
01
જો P(2, 3) અને Q(4, -3) હોય, તો PQ ના મધ્યબિંદુના યામ શોધો.
x-યામ = (2 + 4)2 = 62 = 3
y-યામ = (3 + (-3))2 = 02 = 0
જવાબ: મધ્યબિંદુ (3, 0) મળે
02
જો P(5, 1) અને Q(3, 7) હોય, તો PQ ના મધ્યબિંદુના યામ શોધો.
x-યામ = (5 + 3)2 = 82 = 4
y-યામ = (1 + 7)2 = 82 = 4
જવાબ: મધ્યબિંદુ (4, 4) મળે
✂️
Type 3
વિભાજન સૂત્ર (Section Formula)
કોઈ રેખાખંડનું ચોક્કસ ગુણોત્તરમાં (m:n) વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધવા માટે. સૂત્ર: P(x, y) = ((mx2+nx1)(m+n), (my2+ny1)(m+n))
01
P(-1, 7) અને Q(4, 2) ને જોડતા રેખાખંડનું 3:2 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધો.
m = 3, n = 2
x-યામ = (3(4) + 2(-1))(3 + 2) = (12 - 2)5 = 105 = 2
y-યામ = (3(2) + 2(7))(3 + 2) = (6 + 14)5 = 205 = 4
જવાબ: (2, 4)
02
P(-1, 7) અને Q(4, -3) ને જોડતા રેખાખંડનું 2:3 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધો.
m = 2, n = 3
x-યામ = (2(4) + 3(-1))(2 + 3) = (8 - 3)5 = 55 = 1
y-યામ = (2(-3) + 3(7))(2 + 3) = (-6 + 21)5 = 155 = 3
જવાબ: (1, 3)
📐
Type 4
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (Area of Triangle)
ત્રણ શિરોબિંદુઓ આપેલા હોય ત્યારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા. (સૂત્ર યાદ રાખવાની ટ્રીક: ક્રમ 1-2-3-1 માં યાદ રાખવું) સૂત્ર: ક્ષેત્રફળ = 12 | x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2) |
01
A(4, 5), B(3, -2) અને C(-6, 7) શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ક્ષેત્રફળ = 12 | 4(-2 - 7) + 3(7 - 5) - 6(5 - (-2)) |
= 12 | 4(-9) + 3(2) - 6(7) |
= 12 | -36 + 6 - 42 | = 12 | -72 | = 36
જવાબ: 36 એકમ
02
A(1, -1), B(-4, 6) અને C(-3, -5) શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ક્ષેત્રફળ = 12 | 1(6 - (-5)) - 4(-5 - (-1)) - 3(-1 - 6) |
= 12 | 1(11) - 4(-4) - 3(-7) |
= 12 | 11 + 16 + 21 | = 12 | 48 | = 24
જવાબ: 24 એકમ
🎯
Type 5
ત્રિકોણનાં મધ્યકેન્દ્રના યામ (Centroid Formula)
સૂત્ર: ((x1+x2+x3)3, (y1+y2+y3)3)
01
(3, 0), (7, 2) અને (8, 4) શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધો.
x-યામ = (3 + 7 + 8)3 = 183 = 6
y-યામ = (0 + 2 + 4)3 = 63 = 2
જવાબ: (6, 2)
02
A(5, 1), B(-1, -1) અને C(2, 3) ના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધો.
x-યામ = (5 - 1 + 2)3 = 63 = 2
y-યામ = (1 - 1 + 3)3 = 33 = 1
જવાબ: (2, 1)
📈
Type 6
રેખાનો ઢાળ (Slope of a Line)
રેખાનો ઢાળ (m) અલગ અલગ રીતે શોધી શકાય છે. સૂત્ર 1 (બે બિંદુ માટે): m = (y2-y1)(x2-x1). સૂત્ર 2 (સમીકરણ માટે): ઢાળ = -(x નો ગુણાંક)(y નો ગુણાંક)
01
બિંદુઓ (4, 3) તથા (3, 4) વડે બનતી રેખાનો ઢાળ શોધો.
ઢાળ (m) = (y2 - y1)(x2 - x1) = (4 - 3)(3 - 4)
= 1(-1) = -1
જવાબ: -1
02
સમીકરણ y = 3x + 2 નો ઢાળ શોધો.
આ સમીકરણ y = mx + c સ્વરૂપમાં છે.
અહીં m ની જગ્યાએ 3 છે.
જવાબ: 3