⚖️
Quick Notes
પાયાની સમજૂતી
ગુણોત્તર (Ratio): બે જથ્થાઓની સરખામણી કેટલા ગણા પદમાં છે તે દર્શાવતી સંખ્યાને ગુણોત્તર કહેવાય છે. તેને સાદુંરૂપ આપતા વધતો અંક પણ કહી શકાય.
1
સંકેત: ગુણોત્તર દર્શાવવા માટે ':' (જેમ - IS TO) સંકેતનો ઉપયોગ થાય છે.
2
નિયમ: હંમેશા સરખા એકમો ધરાવતા જથ્થાઓની જ સરખામણી કરી શકાય છે.
3
ઉદાહરણ: જો ઈશાનું વજન 25 કિગ્રા અને પિતાનું વજન 75 કિગ્રા હોય, તો પિતાનું વજન ઈશા કરતા 3 ગણું છે, જેને 1 : 3 તરીકે દર્શાવાય.
📊
Examples
દાખલાઓના પ્રકાર
વિવિધ પ્રકારના દાખલાઓ અને તેમની ગણતરી કરવાની રીતો:
1
Type #1: ગુણોત્તરની સરખામણી - અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદની સરખામણી અથવા ચોકડી ગુણાકારથી મોટોનાનો ગુણોત્તર શોધવો. (અશુદ્ધ અપૂર્ણાંક હંમેશા મોટો ગણાય).
2
Type #2 થી 5: પાયાના વ્યવહારુ દાખલા - વસ્તુની વહેંચણી (દા.ત. 21 ચોકલેટને 5:2 માં વહેંચવી). ઉંમર અને ઝડપના ગુણોત્તર પરથી કિંમત શોધવી. એકમ પરિવર્તન (દા.ત. 50 ગ્રામ અને 2 કિલોગ્રામનો ગુણોત્તર 1:40).
3
સમીકરણ: જો a:b=5:3 હોય તો કિંમત મૂકીને સમીકરણ ઉકેલવા. ગુણોત્તર જોડવા (P:Q અને R:Q પરથી P:Q:R).
4
Type #6 થી 10: મિલકત વહેંચણી. અપૂર્ણાંક ગુણોત્તર (12:13:14) માં લ.સા.અ. લેવો. આવક = ખર્ચ + બચત. ટકાવારી આધારિત.
🪙
Base Theory
અન્ય અગત્યના પ્રકારો
સિક્કા, પ્રમાણપદ, અને વિવિધ વ્યાખ્યાઓ:
1
Type #11 સિક્કા આધારિત: ગલ્લાના સિક્કા માટે (સિક્કાની સંખ્યા × સિક્કાની કિંમત = કુલ મૂલ્ય).
2
Type #12 થી 16 પ્રમાણ (Proportion): 4 પદો a:b::c:d હોય તો નજીકનો ગુણાકાર = દૂરનો ગુણાકાર (ad = bc).
3
મધ્ય પ્રમાણપદ (Mean Proportional): જો a, b, c પ્રમાણમાં હોય તો b2 = ac થાય.
4
Type #18 હીરાની કિંમત: હીરાની કિંમત તેના વજનના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે (Price ∝ Weight2).
5
Type #19 વ્યાખ્યાઓ: વર્ગ ગુણોત્તર (a2:b2), વર્ગમૂળ ગુણોત્તર (√a:√b), ઘન ગુણોત્તર (a3:b3), ઘનમૂળ ગુણોત્તર (∛a:∛b), વ્યસ્ત ગુણોત્તર (b:a), મિશ્ર ગુણોત્તર (પ્રથમ પદોનો ગુણાકાર અને બીજા પદોનો ગુણાકાર).
📌
Base Theory
મુખ્ય નિયમો
ગુણોત્તર અને પ્રમાણના દાખલા ગણવા માટે યાદ રાખવાના નિયમો:
1
એકમની સમાનતા: ગુણોત્તર માટે બંને જથ્થાના એકમો સમાન હોવા જોઈએ. જો એક માપ ગ્રામમાં અને બીજું કિલોગ્રામમાં હોય, તો પહેલા તેને સમાન કરવા પડે.
2
પ્રમાણનો મૂળભૂત નિયમ: જ્યારે a, b, c, d સમપ્રમાણમાં હોય ત્યારે 'નજીકનો ગુણાકાર = દૂરનો ગુણાકાર' એટલે કે ad = bc થાય.
3
આવકનું સૂત્ર: આવક = ખર્ચ + બચત. પરીક્ષામાં ઘણીવાર આમાંથી કોઈ પણ બે વિગત આપીને ત્રીજી શોધવાની હોય છે.
4
હીરાની કિંમતનો નિયમ: હીરાની કિંમત તેના વજનના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે (કિંમત ∝ વજન2). હીરો તૂટે ત્યારે નુકસાનની ગણતરી આ નિયમ મુજબ થાય છે.
⚠️
Confusion Points
મૂંઝવણ ઉભા કરતા મુદ્દા
પરીક્ષામાં ધ્યાનમાં રાખવા જેવી બાબતો:
1
સિક્કાવાળા દાખલા (Coins vs Value): સૌથી વધુ મૂંઝવણ અહીં થાય છે. જો સિક્કાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર આપ્યો હોય, તો તેને મૂલ્ય (રૂપિયા) માં ફેરવવો પડે અને જો રકમનું કુલ મૂલ્ય આપ્યું હોય, તો સિક્કાની સંખ્યા મુજબ ગણતરી કરવી.
2
ગુણોત્તરને જોડવો (Combining Ratios): જ્યારે A:B અને B:C આપ્યા હોય, ત્યારે B ની કિંમત બંનેમાં અલગ હોઈ શકે છે. તેને સમાન કરવા માટે લ.સા.અ. (LCM) અથવા 'બાજુના અંકનું પુનરાવર્તન' વાપરવી.
3
છેદમાં આવતા ગુણોત્તર: જો ગુણોત્તર 12 : 13 : 14 જેવો હોય, તો સીધી ગણતરી ન કરવી. છેદનો લ.સા.અ. (LCM) લઈ દરેક પદને ગુણવાથી તે પૂર્ણાંકમાં ફરી જશે.
📚
Base Theory
વધારાની મહત્વની પરિભાષા
વારંવાર પૂછાતા ગુણોત્તરના પ્રકારો:
| ટર્મ (Term) | અર્થ (Meaning) | ઉદાહરણ (Example) |
|---|---|---|
વર્ગ ગુણોત્તર (Duplicate) | સંખ્યાનો વર્ગ કરવો. | 3:4 → 9:16 |
વર્ગમૂળ ગુણોત્તર (Sub-duplicate) | સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કાઢવું. | 16:25 → 4:5 |
ઘન ગુણોત્તર (Triplicate) | સંખ્યાનો ઘન કરવો. | 3:4 → 27:64 |
વ્યસ્ત ગુણોત્તર (Inverse) | પદોની અદલાબદલી કરવી. | 5:8 → 8:5 |
મિશ્ર ગુણોત્તર (Compound) | પ્રથમ પદોનો ગુણાકાર : બીજા પદોનો ગુણાકાર. | (1:2) અને (3:5) → 3:10 |
📝
Examples
ઉકેલેલા ઉદાહરણો
ગુણોત્તર અને પ્રમાણના પૂછાઈ ગયેલા અને અગત્યના દાખલાઓ:
01
10 : 33 અને 2 : 3 માંથી કયો ગુણોત્તર મોટો છે?
ચોકડી ગુણાકાર કરો → 10 × 3 = 30 અને 33 × 2 = 66
અહીં 30 < 66 હોવાથી
જવાબ: 2 : 3 મોટો ગુણોત્તર છે.
02
50 ગ્રામ અને 2 કિલોગ્રામનો ગુણોત્તર શોધો.
2 કિલોગ્રામ = 2000 ગ્રામ થાય.
ગુણોત્તર 50 : 2000 લેતા અને શૂન્ય ઉડાડતા 5 : 200 મળે.
જવાબ: સાદુંરૂપ આપતા 1 : 40
03
A અને B ના વેતનનો ગુણોત્તર 4:5 છે અને ખર્ચનો 5:6 છે. જો બંને અનુક્રમે 200 અને 300 રૂપિયા બચાવે તો A નું વેતન શોધો.
વેતન અને ખર્ચનો ચોકડી ગુણાકાર: (4 × 6) - (5 × 5) → 24 - 25 = 1 ભાગ
બચત અને ખર્ચનો ચોકડી ગુણાકાર: (200 × 6) - (300 × 5) → 1200 - 1500 = 300 તફાવત
જો 1 ભાગ = 300 હોય, તો A નું વેતન (4 ભાગ)
જવાબ: 4 × 300 = 1200 રૂપિયા
04
એક ગલ્લામાં 25 પૈસા અને 50 પૈસાના સિક્કાઓનો ગુણોત્તર 4:3 છે. જો કુલ 250 રૂપિયા હોય, તો 25 પૈસાના સિક્કા શોધો.
25 પૈસાના 4 સિક્કા = 1 રૂપિયો.
50 પૈસાના 3 સિક્કા = 1.5 રૂપિયા.
કુલ મૂલ્ય = 2.5 રૂપિયા (જ્યારે ગુણોત્તર 4 હોય).
જો 2.5 રૂપિયા માટે ગુણોત્તર 4 હોય, તો 250 રૂપિયા માટે:
જવાબ: 25 પૈસાના સિક્કાની સંખ્યા 400 થાય.
05
(1) 4, 8 અને 15 નું ચોથું પદ શોધો. (2) 144 અને 169 નું મધ્ય પદ શોધો.
🎯
દા.ત. 1: 4 : 8 :: 15 : x → 4 × x = 8 × 15 → x = 30
🎯
દા.ત. 2: સૂત્ર x2 = a × c
x = √144 × √169 → 12 × 13
જવાબ: ચોથું પદ = 30, મધ્ય પદ = 156
06
વર્ગ ગુણોત્તર, વ્યસ્ત ગુણોત્તર અને મિશ્ર ગુણોત્તરનાં ઉદાહરણો:
વર્ગ ગુણોત્તર (Duplicate): 14 : 17 નો વર્ગ ગુણોત્તર 196 : 289 છે.
વ્યસ્ત ગુણોત્તર (Inverse): 5 : 8 નો વ્યસ્ત ગુણોત્તર 8 : 5 છે.
મિશ્ર ગુણોત્તર (Compound): 1 : 2 અને 3 : 5 માટે (1×32×5) = 3 : 10
જવાબ: 196:289, 8:5, 3:10